Fourier transform. Fast Fourier transform. Diskret Fourier transform

Fourier transformasjon - transformasjon, assosiere en viss funksjon av en reell variabel. Denne operasjonen utføres hver gang vi oppfatter ulike lyder. Ear produserer automatisk "beregning", som oppfyller våre kan bevisstheten bare etter undersøkelse av den delen av høyere matematikk. hørsel organ i et menneske transformasjon konstruerer, i hvilken lyden (konvensjonelle vibrasjonsbevegelse av partikler i et elastisk medium, som forplanter seg i bølgeform i fast, flytende eller gassformet medium) er anordnet i en rekke på hverandre følgende verdier av volumnivået av toner med varierende høyder. Etter dette, slår hjernen informasjonen til alle de kjente lyd.

Matematisk Fourier transform

Omdannelse av lydbølger eller annet vibrasjonsprosesser (av lysemisjon og tidevannet og til fremragende eller solenergi sykluser) kan utføres og ved hjelp av matematiske metoder. Således, ved anvendelse av disse teknikkene, kan funksjonene kan utvides ved innføring av vibrasjonelle prosesser sett av sinusformede komponenter, dvs. bølgekurver som går fra et minimum til et maksimum og deretter igjen til et minimum, som den bølge på havet. Fourier-transformasjon - transformasjonsfunksjon som beskriver fasen eller amplituden av hver sinussignal svarende til en bestemt frekvens. Fase er en startpunktet for kurven, og amplituden - av dens høyde.

Fourier transform (eksempler er vist i bildet) er et svært kraftig verktøy, som brukes i ulike fagområder. I noen tilfeller er det brukt som en løsning heller kompliserte ligninger som beskriver den dynamiske prosesser som skjer under påvirkning av lys, varme eller elektrisk energi. I andre tilfeller, det kan du definere vanlige komponenter i komplekse bølgeformer, på grunn av dette kan være sant å tolke ulike eksperimentelle observasjoner i kjemi, medisin og astronomi.

historisk informasjon

Den første personen til å bruke denne metoden var den franske matematikeren Zhan Batist Fure. Konvertering, senere oppkalt etter ham, ble opprinnelig brukt til å beskrive varmeledning mekanisme. Fourier hele sitt voksne liv engasjert i å studere egenskapene til varmen. Han gjorde en enorm bidrag til den matematiske teorien om fastsettelse av røttene av algebraiske ligninger. Fourier var en professor i analyse ved Ecole Polytechnique, sekretær ved Institutt for egyptologi, var den keiserlige tjeneste, som vakte oppsikt på tidspunktet for byggingen av veien til Torino (under hans ledelse ble tappet for mer enn 80 tusen kvadratkilometer malaria sumper). Men visste alt dette aktivisme ikke stoppe forsker engasjert i matematisk analyse. I 1802 ble det utledes en ligning som beskriver den varme forplanter seg i faste stoffer. I 1807 oppdaget forsker en fremgangsmåte for løsning av denne ligning, som ble kjent som "Fourier-transformasjon".

termisk ledningsevne analyse

Forskere benyttes en matematisk metode for å beskrive den varmeledning mekanisme. Et praktisk eksempel, hvor ingen vanskelighet i beregningen er forplantning av varmeenergi ved hjelp av en jernring, en del nedsenket i en brann. For å utføre eksperimenter Fourier rødglødende del av ringen og begrave ham i den fine sanden. Deretter ble temperaturmålinger foretatt på den motsatte del av denne. Innledningsvis er det varmefordeling uregelmessig: del av ringen - kald, og den andre - varme, mellom sonene kan observere en skarp temperaturgradient. Men i løpet av varmefordeling på tvers av metalloverflaten, blir det mer ensartet. Så snart tar denne prosessen form av en sinuskurve. Første kurven øker gradvis og reduserer også jevnt, nøyaktig lovene for variasjon av cosinus og sinusfunksjon. Bølge gradvis utlignet, og som et resultat av at temperaturen blir jevn på hele overflaten av ringen.

Forfatteren av denne metode antas at den opprinnelige fordeling er ganske uregelmessig kan dekomponeres i en rekke elementære sinusbølger. Hver av dem vil ha sin fase (utgangsstilling) og dens maksimale temperatur. Således hver slik komponent endres fra et minimum til et maksimum og tilbake til helt omløp rundt ringen heltall ganger. Komponent som har en periode som ble kalt den grunnharmoniske, og verdien med to eller flere perioder - den andre og så videre. For eksempel, en matematisk funksjon som beskriver den maksimale temperatur, fase eller posisjon kalt Fourier-transformasjon av fordelingsfunksjonen. Scientist brakt en enkeltkomponent som er vanskelig å matematisk beskrivelse, for lett å bruke verktøy - rader av sinus og cosinus, i en mengde for å gi den opprinnelige fordeling.

Essensen av analysen

Ved å bruke denne analysen for omdanning av varmefordelingen i den faste gjenstand, som har en ringform, en matematiker begrunnet at økende perioder med sinusformede komponenter fører til sin hurtig dempning. Dette er tydelig vist på hovedenheten og andre harmoniske. Den endelige temperaturen når to ganger maksimums- og minimumsverdier i en enkelt passering, og i den første - bare en gang. Det viser seg at avstanden ved hjelp av varme i den andre overtone er halvparten av kjernen. I tillegg vil gradienten for den andre halvdel også brattere enn den første. Derfor, siden en mer intens varme fluks passerer enke minimal avstand, da dette vil bli dempet harmonisk fire ganger raskere enn hoved, som en funksjon av tid. I følge prosessen vil bli enda raskere. Matematiker antas at denne fremgangsmåten gjør det mulig for oss å beregne prosessen ved den initielle temperaturfordelingen med tiden.

samtale~~POS=TRUNC samtidige

Fourier-transform-algoritmen er blitt en utfordring til det teoretiske grunnlaget for matematikk på tiden. I begynnelsen av forrige århundre, de fleste fremtredende forskere, inkludert Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre og Biot ikke akseptere hans påstand om at temperaturen på den opprinnelige fordelingen er delt inn komponenter i form av grunnbølgen og høyere frekvens. Men Academy of Sciences kan ikke ignorere de oppnådde resultatene matematiker, og tildelt ham prisen for teorien om varmeledning av lovene, samt gjennomføre sin sammenligning med fysiske eksperimenter. I Fourier tilnærming, er det viktigste innvending det faktum at en diskontinuerlig funksjon representeres av en sum av flere sinusfunksjonene som er sammenhengende. Tross alt, de beskriver de bristende rette og buede linjer. Moderne vitenskapsmann hadde aldri møtt en slik situasjon, når de diskontinuerlige funksjoner som er beskrevet av en kombinasjon av kontinuerlig, slik som kvadratisk, lineære, sinus eller utstiller. I det tilfelle at en matematiker som var rett i hans påstander, bør summen av en uendelig serie av trigonometriske funksjoner begrenses til den eksakte hastigheten. Mens et slikt krav virket absurd. Men til tross for tvil av enkelte forskere (f.eks Claude Navier, Sofi Zhermen) utvidet omfanget av forskning og førte dem ut av analysen av varmefordeling. En matematikk, i mellomtiden, fortsatte å lide spørsmålet om hvorvidt en sum av flere sinusfunksjonene som er redusert til en eksakt representasjon av sprengning.

200-årige historie

Denne teorien har utviklet seg over to århundrer, i dag er det endelig dannet. Ved hjelp av de romlige og tidsbestemte funksjoner er delt inn i sinusformede komponenter som har en frekvens, fase og amplitude. Denne omdannelse oppnås ved to forskjellige matematiske metoder. Den første av disse er brukt i det tilfelle når kilden er en kontinuerlig funksjon, og den andre - i det tilfelle hvor det er representert ved et antall diskrete enkeltendringer. Dersom uttrykket oppnås på grunnlag av verdiene som er definert i diskrete intervaller, kan den deles inn i flere atskilte sinusformete frekvenser uttrykk - fra den laveste og deretter doblet, tredoblet, og så videre over den fundamentale. Dette beløpet kalles Fourier-serien. Hvis det første uttrykket angir verdien av hvert reelt tall, kan det deles opp i flere sinusformede alle mulige frekvenser. Den kalles en Fourier-integral, og beslutningen innebærer en transformasjon av den integrerte funksjonen. Uavhengig av fremgangsmåten for å oppnå transformasjon, for hver frekvens som skal indikere to tall: amplitude og frekvens. Disse verdiene blir uttrykt som et enkelt komplekst tall. Ekspresjon komplekse variable teori sammen med Fourier-transformasjonen for å utføre beregninger tillates utforming av forskjellige elektriske kretser, og analysen av mekaniske vibrasjoner, studiet av bølgeforplantning mekanisme og en annen.

Fourier transform dag

I dag, studiet av denne prosessen i utgangspunktet koker ned til å finne effektive metoder for overgangen fra funksjon for å konvertere det tilbake til tankene. Denne løsning kalles den direkte og inverse Fourier-transformasjon. Hva betyr det? For å bestemme integrert og gjøre en direkte Fourier transform, kan du bruke matematiske metoder, men du kan analytisk. Til tross for det faktum at når de brukes i praksis er det noen problemer, har de fleste integraler allerede blitt funnet og lagt inn i matematiske håndbøker. Med hjelp av numeriske metoder kan beregnes uttrykk, hvis form er basert på de eksperimentelle data, en funksjon hvis integraler i tabellene mangler, og de er vanskelig å forestille seg i en analytisk form.

Før advent av datamaskinen tekniske beregninger slike transformasjoner har vært veldig kjedelig, de krever manuell utførelse av et stort antall regneoperasjoner som avhenger av antall poeng som beskriver bølgefunksjonen. For å lette oppgjøret i dag, det er spesielle programmer, lov til å implementere nye analysemetoder. Så, i 1965, Dzheyms Kuli og Dzhon Tyuki laget programvare som ble kjent som "Fast Fourier Transform". Det sparer tid av beregningen ved å redusere antallet multiplikasjoner i analysen av kurven. "Fast Fourier Transform" Fremgangsmåten er basert på inndeling av kurven inn i et stort antall ensartede utvalgsverdier. Følgelig er antallet multiplikasjoner redusert til det halve ved samme redusere antall punkter.

Påføring av Fourier transform

Denne prosessen brukes på forskjellige områder: I tallteori, fysikk, signalbehandling, kombinatorikk, sannsynlighetsteori, kryptografi, statistikk, havforskning, optikk, akustikk, og andre geometrier. Rike muligheter for dets bruk er basert på en rekke nyttige funksjoner, som er kalt "egenskapene til den Fourier-transformasjon". La oss undersøke dem.

1. Den Konverteringsfunksjonen er en lineær operator og en tilsvarende normalisering er enhetlig. Denne egenskapen er kjent som Parseval teorem, eller i det generelle tilfellet, teoremet Plansherelja eller Pontrjagin dualisme.

2. Konverteringen er reversibel. Dessuten er det motsatte resultat i det vesentlige lignende form som i den direkte adressering.

3. sinusgrunnleggende uttrykk er sine egne differensierte funksjoner. Dette betyr at en slik representasjon endres lineære ligninger med konstante koeffisienter i en konvensjonell algebraisk.

4. I henhold til "convolution" teorem, prosessen gjør en komplisert operasjon i elementær multiplikasjon.

5. Diskret Fourier Transform kan raskt konstruert på en datamaskin ved hjelp av "rask" metoden.

Variasjoner av den Fourier-transform

1. Oftest begrepet brukes for å referere til en kontinuerlig transformasjon, å gi noen kvadratisk integrerbare uttrykk som summen av komplekset eksponensielle uttrykk med spesielle vinkelmessige frekvenser og amplituder. Den har flere forskjellige former, som kan være forskjellige konstante koeffisienter. Den kontinuerlige fremgangsmåte innbefatter en konverteringstabell, som kan finnes i matematiske håndbøker. En generalisert tilfelle er den fraksjonerte konvertering, hvorved denne prosessen kan heves til den ønskede virkelige kraft.

2. Den kontinuerlige metode er en generalisering av tidligere teknikk av Fourier-rekker som er definert for alle periodiske funksjoner eller uttrykk, som eksisterer i et begrenset område, og representerer disse, som en serie av sinuskurver.

3. Diskret Fourier transform. Denne metoden brukes ved beregning for vitenskapelige beregninger og digital signalbehandling. For å utføre denne type beregning er nødvendig for å ha en funksjon for å bestemme på et diskret sett av individuelle punkter, periodisk eller begrenset region i stedet for kontinuerlige Fourierintegraler. Signalkonvertering i dette tilfellet er representert som en sum av sinuskurver. Bruken av "rask" metoden gjør bruk av digitale løsninger for alle praktiske formål.

4. Vinduet Fourier-transform er en generalisert riss av den klassiske metode. I motsetning til standard løsninger når det signalspekteret blir brukt, og som er tatt i hele spekteret av eksistensen av denne variable er av spesiell interesse her er bare den lokale frekvensfordeling og samtidig opprettholde den opprinnelige variable (tiden).

5. De to-dimensjonale Fourier-transformasjon. Denne metoden brukes til å arbeide med todimensjonale grupper med data. I et slikt tilfelle, blir konverteringen utføres i en retning, og deretter - i den andre.

konklusjon

I dag er Fourier-metoden fast forankret i de ulike fagområder. For eksempel, i 1962 åpnet den formen av DNA-dobbeltspiralen ved hjelp av Fourier-analyse i forbindelse med røntgenstråle-diffraksjon. Nye krystaller fokusert på DNA-fibre, noe som resulterer i et bilde som oppnås ved diffraksjon, registrert på filmen. Dette bildet ga informasjon om verdien av amplituden ved hjelp av Fourier-transformen til denne krystallstruktur. Fasedata som oppnås ved sammenligning av de DNA-diffraksjon kort med kort som er oppnådd ved analyse av lignende kjemiske strukturer. Som et resultat, biologer restaurert krystallstruktur - den opprinnelige funksjon.

Fourier-transform spiller en stor rolle i studiet av det ytre rom, fysikken i halvledermaterialer og plasma, mikro akustikk, oseanografi, radar, seismologi og legeundersøkelser.