Ligningen for planet: hvordan å lage? Typer flyet ligninger

I rommet kan et fly defineres på forskjellige måter (ett punkt og en vektor, to poeng og en vektor, tre poeng, etc.). Det er med dette i bakhodet at likningen av flyet kan ha forskjellige typer. Også under visse forhold kan planene være parallelle, vinkelrette, skjærende etc. Vi snakker om dette i denne artikkelen. Vi vil lære å lage en generell ligning av flyet og ikke bare.

Den normale form for ligning

Anta at det er en plass R ₃ som har et rektangulært koordinatsystem XYZ. Definer vektoren α, som vil bli frigjort fra utgangspunktet O. Gjennom enden av vektoren a tegner du planet Π, som vil være vinkelrett på det.

Vi betegner Π et vilkårlig punkt Q = (x, y, z). Vi vil skrive radiusvektoren til punktet Q ved bokstaven p. I dette tilfellet er lengden på vektoren a lik p = Iai og Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Det er en enhetsvektor som er rettet til siden, som vektoren a. Α, β og γ er vinklene som dannes mellom vektoren Ʋ og de positive retningene for aksene i rommet x, y, z, henholdsvis. Fremspringen av noe punkt QεP på vektoren Ʋ er en konstant som er lik p: (p, Ʋ) = p (p≥0).

Denne ligningen gir mening når p = 0. Det eneste flyet P i dette tilfellet vil krysse punktet O (α = 0), som er opprinnelsen, og enhetvektoren Ʋ frigitt fra punktet O vil være vinkelrett på Π, til tross for sin retning, hvilket betyr at vektoren Ʋ er definert med Nøyaktighet til tegnet. Den forrige ligningen er ligningen til vårt fly II, uttrykt i vektorform. Men i koordinatene til hans ser slik ut:

P er større enn eller lik 0. Vi har funnet ligningen til et plan i rommet i vanlig form.

Den generelle ligningen

Hvis ligningen i koordinatene multipliseres med et tall som ikke er lik null, får vi en ligning som tilsvarer en gitt, som bestemmer det samme planet. Det vil se slik ut:

Her A, B, C er tall som samtidig er null. Denne ligningen er referert til som ligningen til et generelt plan.

Ligninger av fly. Spesielle tilfeller

Likningen i generell form kan modifiseres under nærvær av ytterligere betingelser. La oss vurdere noen av dem.

Anta at koeffisienten A er 0. Dette betyr at det oppgitte planet er parallelt med den angitte aksen Ox. I dette tilfellet endres formen av ligningen: Boo + Cz + D = 0.

På samme måte vil formen på ligningen endre seg under følgende forhold:

• Først, hvis B = 0, endres ligningen til Ax + Cz + D = 0, som vil være tegn på parallellitet med Oy-aksen.
• For det andre, hvis C = 0, blir ligningen transformert til Ax + Boo + D = 0, som vil tale om parallellitet til den angitte aksen Oz.
• For det tredje, hvis D = 0, ser ligningen ut som Ax + Boo + Cz = 0, noe som betyr at flyet krysser O (opprinnelsen).
• For det fjerde, hvis A = B = 0, endres ligningen til Cz + D = 0, som vil vise seg parallelt med Oxy.
• For det femte, hvis B = C = 0, blir ligningen Ax + D = 0, hvilket betyr at flyet til Oyz er parallelt.
• Sjette, hvis A = C = 0, vil ligningen ta formen Boo + D = 0, det vil si at parallellen til Oxz blir rapportert.

Type likning i segmenter

I tilfelle når tallene A, B, C, D er forskjellige fra null, kan likningsformen (0) være som følger:

X / a + y / b + z / c = 1,

I hvilken a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Som et resultat får vi ligningen til flyet i segmentene. Det skal bemerkes at dette flyet vil krysse Okseaksen ved punktet med koordinater (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) og Oz - (0,0, c).

Med tanke på ligningen x / a + y / b + z / c = 1, er det ikke vanskelig å visualisere planleggingen av flyet i forhold til et gitt koordinatsystem visuelt.

Koordinater for den normale vektoren

Den normale vektoren n til planet Π har koordinater som er koeffisientene til den generelle ligningen til det oppgitte planet, det vil si n (A, B, C).

For å bestemme koordinatene til normal n, er det tilstrekkelig å kjenne den generelle ligningen til det oppgitte planet.

Ved å bruke ligningen i segmenter, som har formen x / a + y / b + z / c = 1, som med den generelle ligningen, kan vi skrive koordinatene til en hvilken som helst normal vektor av det oppgitte planet: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Det er verdt å merke seg at en normal vektor bidrar til å løse en rekke oppgaver. De vanligste problemene er problemet med å bevise planetens vinkelrettighet eller parallellitet, problemet med å finne vinkler mellom planene eller vinklene mellom fly og linjer.

Formen av ligningen til flyet i samsvar med punktets koordinater og den normale vektoren

En ikke-null vektor n vinkelrett på et gitt plan kalles normalt (normalt) for et gitt plan.

Anta at oksygen er gitt i koordinatområdet (rektangulært koordinatsystem):

• Punkt Mₒ med koordinater (xₒ, yₒ, z );
• Null vektoren er n = a * i + b * j + c * k.

Det er nødvendig å komponere ligningen til flyet, som vil passere gjennom punktet Mₒ vinkelrett på det normale n.

I plassen velger vi et vilkårlig punkt og angir det ved M (xy, z). La radiusvektoren for et punkt M (x, y, z) være r = x * i + y * j + z * k, og radiusvektoren til punktet Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) - rₒ = xₒ * i + yₒ * J + zₒ * k. Poenget M vil tilhøre det oppgitte planet hvis vektoren MₒM er vinkelrett på vektoren n. La oss skrive ned ortogonal tilstanden ved hjelp av skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Siden MₒM = r-r will, vil vektorens ligning se slik ut:

[R - r, n] = 0.

Denne ligningen kan ha en annen form. For å gjøre dette bruker vi egenskapene til skalarproduktet, og venstre side av ligningen blir transformert. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Hvis [r, n] betegnes som c, blir følgende ligning oppnådd: [r, n] - c = 0 eller [r, n] = c, som uttrykker fremspringets konstantitet på den normale vektoren av radiusvektorer av gitt punkter som tilhører flyet.

Nå kan vi få koordinatformen av platen til vektorkvasjonen av vårt fly [r - rₒ, n] = 0. Siden r-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, og N = A * i + B * j + C * k, vi har:

Det viser seg at vi har ligningen til et fly som går gjennom et punkt vinkelrett på det normale n:

A * (x - xₒ) + B * (y - yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

Formen av ligningen av flyet i henhold til koordinatene til to punkter og en vektor, det kollinære planet

Vi definerer to vilkårlig poeng M '(x', y ', z') og M "(x", y ", z"), samt vektoren a (a ', a ", a).

Nå kan vi komponere ligningen til det oppgitte planet som vil passere gjennom de tilgjengelige punktene M 'og M', og også et hvilket som helst punkt M med koordinatene (x, y, z) parallelt med den givne vektoren a.

I tillegg må vektorene M'M = {x-x ', y-y'; zz '} og M "M = {x" -x'; y "-y '; z" -z'} være parallell med vektoren A = (a ', a ", a), og dette betyr at (M'M, M" M, a) = 0.

Så, vår likning av et fly i rommet vil se slik ut:

Formen av ligningen i et plan skjærer tre punkter

Anta at vi har tre poeng: (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x", "Y", "Z") som ikke tilhører samme linje. Det er nødvendig å skrive ligningen til flyet som går gjennom de tre gitte punktene. Teorien om geometri hevder at et slikt plan eksisterer, men bare det er unikt og uopprettelig. Siden dette flyet krysser punktet (x ', y', z '), vil formen av dens ligning være som følger:

Her er A, B, C begge ikke-null. Også det gitte planet skjærer to punkter: (x ", y", z ") og (x ', y', z '). I denne sammenheng må slike forhold oppfylles:

Nå kan vi danne et homogent system av ligninger (lineære) med ukjente u, v, w:

I vårt tilfelle er x, y eller z et vilkårlig punkt som tilfredsstiller ligning (1). Med hensyn til ligning (1) og systemet fra ligningene (2) og (3) tilfredsstiller system av ligninger som er angitt i figuren ovenfor vektoren N (A, B, C), som ikke er brukbar. Det er derfor determinant av dette systemet er null.

Ligning (1), som vi oppnådde, er dette ligningen for flyet. Etter 3 poeng går det nøyaktig, og det er enkelt å sjekke. For å gjøre dette, må vi utvide determinanten vår med elementene i første rad. Fra de eksisterende egenskapene til determinanten følger det at vårt plan samtidig krysser de tre utgangspunktene som er gitt i utgangspunktet (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x', y ', z'). Det vil si, vi har løst oppgavesettet foran oss.

Den tosidige vinkelen mellom flyene

Det tosidige hjørnet representerer en romlig geometrisk figur dannet av to halvplaner som kommer fra en rett linje. Med andre ord er dette en del av rommet som er begrenset til disse halvplanene.

Anta at vi har to fly med følgende ligninger:

Vi vet at vektorene N = (A, B, C) og N¹ = (¹¹, ¹, ¹) er vinkelrette i henhold til de oppgitte planene. I denne forbindelse er vinkelen φ mellom vektorene N og N¹ lik vinkelen (tosidig) som ligger mellom disse planene. Det skalære produktet har formen:

NN1 = | N || N¹ | cos φ,

Akkurat fordi

Cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (АА¹ + ВВ¹ + Сі¹) / ((А (А² + В² + С²)) * (√ (А¹) ² + (¹) ² + (С¹) ²)).

Det er nok å ta hensyn til at 0≤φ≤π.

Faktisk er to plan som skjærer danner to vinkler (tosidige): φ ₁ og φ ₂ . Deres sum er lik π (φ ₁ + φ ₂ = π). Når det gjelder deres cosinus, er deres absolutte verdier lik, men de varierer i tegn, det vil si cos φ ₁ = -cos φ ₂ . Hvis vi erstatter A, B og C med tallene -A, -B og -C, i ligning (0), vil ligningen vi får, bestemme det samme planet, den eneste, φ i ligningen cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Vil bli erstattet av π-φ.

Ligningen av det vinkelrette planet

Vinkelrett er flyene mellom hvilke vinkelen er 90 grader. Ved å bruke materialet som er beskrevet ovenfor, kan vi finne ligningen til et plan vinkelrett mot det andre. Anta at vi har to fly: Aks + Boo + Cz + D = 0 og A¹x + Bуy + Czz + D = 0. Vi kan si at de vil være vinkelrett hvis cosφ = 0. Dette betyr at NN¹ = AA + + BB¹ + CC¹ = 0.

Ligning av et parallelt plan

Parallelt er to fly som ikke inneholder fellespunkter.

Tilstanden for planens parallellitet (deres likninger er de samme som i forrige avsnitt) er at vektorene N og N1, som er vinkelrette mot dem, er kollinære. Og dette betyr at følgende forholdsmessige forhold er oppfylt:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

Hvis forholdsmessighetsforholdene forlenges - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹,

Dette indikerer at disse flyene sammenfaller. Dette betyr at ligningene Ax + Boo + Cz + D = 0 og A¹x + Bуy + Czz + D¹ = 0 beskriver ett plan.

Avstand til flyet fra punktet

Anta at vi har et fly Π, som er gitt ved ligning (0). Det er nødvendig å finne før avstanden fra punktet med koordinatene (xₒ, yₒ, zₒ) = Q . For å gjøre dette, må vi redusere ligningen til flyet Π til vanlig form:

(P, v) = p (p≥0).

I dette tilfellet er ρ (x, y, z) radiusvektoren til vårt punkt Q plassert på II, p er lengden av den vinkelrette P som ble frigjort fra nullpunktet, v er enhetvektoren som ligger i retning av a.

Forskjellen p - p av radiusvektoren til et hvilket som helst punkt Q = (x, y, z) som tilhører Π, og også radiusvektoren for det oppgitte punktet Q ₀ = (xₒ, yₒ, zₒ) er en vektor hvis absolutte projeksjon på V er lik avstanden d, som må finnes fra Q ₀ = (xₒ, yₒ, zₒ) til Π:

D = | (ρ-ρ ⁰ , v) |, men

(P-p ⁰ , v) = (p, v) - (p ⁰ , v) = p - (p ⁰ , v).

Så det viser seg,

D = | (p ⁰ , v) -p |.

Nå ser vi at for å kunne beregne avstanden d fra Q ₀ til planet II, må vi bruke den normale formen av planetens likning, og overføre den til venstre på p, og erstatte (xp, yp, zp) i stedet for x, y, z.

Dermed finner vi den absolutte verdien av det resulterende uttrykket, det vil si den ønskede d.

Ved å bruke språket til parametere, får vi det opplagte:

D = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Hvis det oppgitte punktet Q ₀ er på den andre siden av planet II, som opprinnelsen, så er vekten p-p ⁰ og v en stump vinkel, derfor:

D = - (p-p ⁰ , v) = (p ⁰ , v) -p> 0.

I tilfelle der punktet Q ₀ sammen med koordinatets opprinnelse ligger på samme side av II, er den opprettede vinkelen akutt, det vil si:

D = (p-p ⁰ , v) = p - (p ⁰ , v)> 0.

Som et resultat viser det seg at i det første tilfellet (ρ ⁰ , v)> p, i det andre tilfellet (ρ ⁰ , v)

Tangentplanet og dens likning

Flyet tangent til overflaten ved tangens M0 er planet som inneholder alle mulige tangenter til kurvene trukket gjennom dette punktet på overflaten.

Med denne formen av overflateekvasjonen F (x, y, z) = 0, vil ligningen av tangensplanet ved tangentpunktet M0 (x, y, z0) se slik ut:

Fx ( _x °, yo, z0) (x - x0) + Fx (x0, y0, z0) (y - y0) + Fx (x0, y0, z0) (z-z0) = 0.

Hvis vi definerer overflaten i eksplisitt form z = f (x, y), så vil tangensplanet beskrives ved ligningen:

Z - z0 = f (x0, y0) (x - x0) + f (x0, y0) (y - y0).

Kryss av to fly

I tredimensjonalt rom er koordinatsystemet (rektangulært) Oxyz plassert, to planer П 'og П' er gitt, som skjærer og ikke sammenfaller. Siden et hvilket som helst planet i et rektangulært koordinatsystem er definert av en generell ligning, antar vi at Π og Π er gitt av ligningene A'x + B'y + C'z + D '= 0 og A "x + B" y + Med "z + D" = 0. I dette tilfellet har vi den normale n '(A', B ', C') av planet II 'og det normale n "(A", B ", C") av planet II ". Siden våre fly ikke er parallelle og ikke sammenfaller, er disse vektorene ikke kollinære. Ved hjelp av språket i matematikk kan vi skrive denne tilstanden som følger: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (A * A", X * B ", X * C"), XeR. La linjen som ligger i skjæringspunktet for П 'og П "betegnes av a, i hvilket tilfelle a = П' ∩ П".

A er en linje som består av settet av alle punkter i (vanlige) fly II 'og II'. Dette betyr at koordinatene til ethvert punkt som tilhører linjen a må samtidig tilfredsstille ligningene A'x + B'y + C'z + D '= 0 og A "x + B" y + C "z + D" = 0. Derfor vil koordinatene til punktet være en bestemt løsning av følgende system av ligninger:

Som et resultat viser det seg at løsningen (vanlig) i dette system av ligninger vil bestemme koordinatene til hvert av punktene i den rette linjen, som vil fungere som skjæringspunktet for P 'og P ", og bestemme den rette linjen a i koordinatsystemet Oxyz (rektangulær) i rommet.