Cramers regel og sin søknad

Cramer regel - er en av de nøyaktige metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligningene (Slough). Dens nøyaktighet på grunn av bruk av de faktorer som bestemmer systemets matrise, så vel som noen av de begrensninger som pålegges i beviset av teoremet.

Et system av lineære algebraiske ligninger med koeffisienter som hører til, for eksempel, et flertall R - reelle tall av ukjente x1, x2, ..., xn er en samling av uttrykk

AI2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi med i = 1, 2, ..., m, (1)

hvor aij, bi - reelle tall. Hver av disse uttrykkene er kalt en lineær ligning, aij - koeffisientene for de ukjente, bi - uavhengige koeffisientene i ligningene.

oppløsning av (1) referert til n-dimensjonal vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), ved hvilken substitusjon inn i systemet for den ukjente x1, x2, ..., xn, blir hver av linjene i systemet beste ligning .

Systemet kalles overensstemmelse hvis den har minst én løsning, og inkonsekvent, hvis den faller sammen med den oppløsning sett av den tomme settet.

Man må huske på at for å finne løsninger på systemer av lineære ligninger ved hjelp av fremgangsmåten i Cramer, matrisesystemer må være firkantet, som i utgangspunktet betyr det samme antallet ukjente og ligninger i systemet.

Så, for å bruke Cramer metode, må du i det minste vite hva Matrix er et system av lineære algebraiske ligninger, og det er utstedt. Og for det andre, for å forstå det som kalles determinanten av matrisen og egne ferdigheter i beregningen.

La oss anta at denne kunnskapen du har. Fantastisk! Da må du bare huske formler bestemme Kramer metoden. For å forenkle memorization bruke følgende notasjon:

• Det - den viktigste determinanten til matrisen av systemet;

• deti - er determinant av matriksen oppnådd fra den primære matrise av systemet ved å erstatte i-te kolonne i matrisen til en kolonne vektor hvis elementer er de rette sidene av lineære algebraiske ligninger;

• n - antall ukjente og ligninger i systemet.

Deretter Cramer styre beregningen i-te komponent xi (i = 1, .. n) n-dimensjonal vektor x kan skrives som:

xi = deti / Det, (2).

I dette tilfellet, Det strengt forskjellig fra null.

Det unike med løsningen av systemet når det er i fellesskap gitt av ulikheten tilstanden til hovedfaktoren av systemet til null. Ellers, hvis summen av (xi), kvadrat, strengt positive, da SLAE en kvadratisk matrise er umulig. Dette kan særlig skje når minst en av deti-null.

Eksempel 1. For å løse den tredimensjonale LAU systemet ved hjelp av Cramer formel.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Beslutning. Vi skriver ned matrisen til systemet linje for linje, hvor Ai - er den i-te rad i matrisen.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolonne frie koeffisienter b = (31 29 oktober).

Hovedsystemet er determinant Det
Det a11 a22 = A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

For å beregne den permutasjon DET1 ved hjelp a11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. deretter
DET1 = b1 a22 A33 + A12 A23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 A23 - A33 b2 a12 = ... = -81.

På samme måte, for å beregne det2 bruk substitusjon a12 = b1, A22 = b2, A32 = b3, og følgelig for å beregne det3 - a13 = b1, A23 = b2, A33 = b3.
Deretter kan du sjekke at det2 = -108, og det3 = - 135.
I henhold til formlene Cramer finne x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5.

Svar: x ° = (3,4,5).

Avhengig av anvendelse av denne regel, kan fremgangsmåten ifølge Kramer å løse systemer av lineære ligninger anvendes indirekte, for eksempel, for å undersøke systemets på mulige antall løsninger avhengig av verdien av en parameter k.

Eksempel 2. For å bestemme ved hvilke verdier av parameteren k ulikhet | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 har nøyaktig en løsning.

Beslutning.
Denne ulikhet, ved definisjonen av modulen funksjon kan utføres bare hvis begge uttrykk er null samtidig. Derfor er dette problemet redusert til å finne den løsning av lineære algebraiske ligninger

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Løsningen på dette systemet bare hvis det er den viktigste determinant av
Det = k ^ {2} + 1 er forskjellig fra null. Det er klart at dette vilkåret er oppfylt for alle reelle verdier av parameteren k.

Svar: for alle reelle verdier av parameteren k.

Målene for denne typen kan også reduseres mange praktiske problemer innen matematikk, fysikk eller kjemi.