Hva er aritmetikk? Aritmetikkens Fundamentalteorem. binær aritmetikk

Hva er aritmetikk? Når menneskeheten begynte å bruke tall og arbeide med dem? Hvor sine røtter i hverdagen begreper som tall, brøker, subtraksjon, addisjon og multiplikasjon, har vedkommende gjort en integrert del av livet hans, og utsiktene? Greske sinn beundret slike vitenskaper som matematikk, regning og geometri, som en vakker symfoni av menneskelig logikk.

Kanskje matematikk er ikke så dypt som de andre vitenskaper, men hva ville skje med dem, folk glemmer de elementære gangetabellen? Kjent for oss logisk tenkning, ved hjelp av tall, brøker, og andre verktøy for å gi folk en vanskelig tid, og i lang tid var ikke tilgjengelig for våre forfedre. Faktisk, før utviklingen av aritmetiske ingen område av menneskelig kunnskap var ikke helt vitenskapelig.

Aritmetiske - Matematikk er alfabetet

Aritmetiske - vitenskapen om tall, som enhver person begynner bekjentskap med den fascinerende verden av matematikk. I ordene til M. V. Lomonosov, regning - dette er porten for læring, åpnet veien for oss å Miropoznanie. Men han har rett, er kunnskap om verden kan skilles fra kunnskap om bokstaver og tall, matematikk og tale? Kanskje i gamle dager, men ikke i den moderne verden, der den raske utviklingen av vitenskap og teknologi gjør sine egne lover.

Ordet "aritmetikk" (Gk. "Arifmos") av gresk opprinnelse, betyr "nummer". Den undersøker antall og alt som kan være assosiert med dem. Dette er verdens tall: ulike operasjoner på tall, numeriske regler, de oppgavene som er knyttet til multiplikasjon, subtraksjon, og så videre ..

Det er generelt akseptert at det innledende trinnet er den aritmetiske matematikk og solid grunnlag for den mer komplekse dens seksjoner, slik som algebra, matematisk analyse, høyere matematikk og t. D.

Hovedformålet med aritmetiske

Grunnlaget for aritmetiske - er et heltall, egenskaper og lover som betraktes som den høyeste aritmetiske eller tallteori. Faktisk, hvordan den rette tilnærmingen er tatt i betraktning av en så liten enhet, som et naturlig tall avhengig av styrken av bygningen - matematikk.

Derfor er spørsmålet som er aritmetikk, er svaret enkelt: det er vitenskapen om tall. Ja, om det vanlige sju, ni, og alt dette mangfoldig samfunn. Og like bra, og de mest middelmådige versene kan ikke skrive uten grunnleggende alfabetet, uten aritmetikk ikke kan løses selv grunnleggende oppgaver. Det er derfor alle vitenskaper har avansert først etter utviklingen av aritmetikk og matematikk, er først og fremst et sett av forutsetninger.

Aritmetiske - science-spøkelset

Hva er aritmetiske - naturfag eller et fantom? Faktisk, som de gamle greske filosofene begrunnet, ingen tall, ingen tall i realiteten ikke eksisterer. Det er bare et fantom, som er skapt i menneskets tanke når du ser på miljøet og dets prosesser. Faktisk, hva er nummeret? Ingen steder rundt vi ikke ser noe slikt kan kalles nummeret, snarere antall - det er en måte å utforske verden i det menneskelige sinn. Kanskje denne studien vi har inne selv? Filosofer krangle om dette i mange århundrer på rad, så å gi en uttømmende svar vi ikke gjennomføre. Uansett, det aritmetiske kunne så godt ta sin posisjon i den moderne verden ingen kan anses som sosialt tilpasset uten kjennskap til sine grunnvoller.

Ettersom det var et positivt heltall

Selvfølgelig, hvis hovedformål av denne opererer aritmetikk, - naturlig tall, såsom 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... etc. Aritmetiske av naturlige tall er et resultat av bekostning av vanlige objekter, for eksempel kyr i en eng. Likevel, definisjonen av "mye" eller "litt" når noe har opphørt å holde folk, og måtte oppfinne mer sofistikert telling teknikk.

Men det virkelige gjennombruddet kom da det menneskelige sinn har nådd det punktet som kan være en og samme antall "to" for å utpeke og 2 kg, og to murstein og 2 deler. Det faktum at det er nødvendig å abstrahere fra formene, egenskaper og betydningen av objekter, så vi kan produsere noen handling med disse objektene i form av positive heltall. Dermed ble født aritmetiske av tall, som er videre utviklet og utvidet i opptar en posisjon i samfunnet.

Et slikt dyptgående begrepet tall, som null og negative tall, brøker, tallene refererer til numrene på andre måter, har en rik og interessant historie av utviklingen.

Aritmetiske og praktiske egypterne

To gamle menneskelige følges i studiet av verden og løse hverdagsproblemer - denne aritmetikk og geometri.

Det antas at historien om aritmetiske har sin opprinnelse i det gamle Øst: India, Egypt, Babylon og Kina. Så Rhind papyrus egyptisk opprinnelse (så kalt fordi det samme navnet tilhører eieren), som dateres tilbake til XX århundre. BC, i tillegg til andre verdifulle data omfatter utvidelse av en fraksjon i mengden av fraksjoner med forskjellige nevn og telleren lik en.

For eksempel: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Men hva er meningen med en slik kompleks nedbrytning? Det faktum at den egyptiske tilnærmingen ikke tolererer abstrahert tenker om tall, tvert imot, ble beregningene gjort bare for praktiske formål. Som er, vil egypterne bli engasjert i slik virksomhet som beregninger, utelukkende for å bygge graven, for eksempel. Det var nødvendig å beregne lengden av finnen struktur, og det gjøres for en person å sitte papyrus. Som man kan se, ble den egyptiske fremgang i beregningene kalles, heller massiv, bygge, heller enn en kjærlighet til vitenskap.

Av denne grunn beregninger som finnes på papyrus, kan ikke kalles refleksjoner om temaet fraksjoner. Mest sannsynlig er det en praktisk forberedelse, noe som bidro til ytterligere å løse problemer med fraksjoner. De gamle egypterne visste ikke gangetabellen, produsert en ganske lang beregninger, spredt ut i mange deloppgaver. Kanskje dette er en av disse deloppgavene. Det er lett å legge merke til at beregningene med disse blanks er svært tidkrevende og ikke veldig lovende. Kanskje på grunn av dette kan vi ikke se et stort bidrag til utviklingen av gamle egyptiske matematikk.

Antikkens Hellas og filosofisk aritmetikk

Mange av kunnskap om gamle Øst ble mestret av de gamle grekerne, kjent for fans av abstrakt, abstrakt og filosofisk refleksjon. Praktisere dem interessert i intet mindre enn det beste teoretikere og tenkere er vanskelig å finne. Det var bra for vitenskap fordi matematikk er ikke mulig å gå dypt, ikke rive det med virkeligheten. Selvfølgelig er det mulig å multiplisere 10 kyr og 100 liter melk, men ikke være i stand til å bevege seg langt.

Grekerne tenker dypt forlot en betydelig merke i historien, og deres gjerninger har kommet til oss:

• Euclid og "Elements".
• Pythagoras.
• Arkimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Og, selvfølgelig, snur hele filosofien grekerne, og særlig tilhengere av Pytagoras tilfellene var så lidenskapelig om tallene, som anses dem et mysterium verden harmoni. Tallene har vært så studert og undersøkt, at noen av dem og deres par tillagt spesielle egenskaper. For eksempel:

• Perfekt tall - de som er summen av alle dens divisorer bortsett fra selve nummeret (6 = 1 + 2 + 3).
• Friendly nummer - disse tall, hvorav den ene er summen av alle divisorene den andre og vice versa (pytagoreiske vet bare ett slikt par: 220 og 284).

Grekerne, som mente at vitenskap bør bli elsket, ikke til å være sammen med henne for å få til gevinst, har gjort store fremskritt, utforske, leke og å legge til numre. Det bør bemerkes at ikke alle av deres forskning har vært mye brukt, noen av dem var bare "for skjønnhet."

Østlige tenkere i middelalderen

Tilsvarende, i middelalderen aritmetiske det skylder sin utvikling til de østlige samtidige. Indianerne ga oss tallene at vi aktivt bruker noe slikt som "null", og stillingen variasjon beregningssystem, den vanlige moderne oppfatning. Fra Al-grøt, som i det 15. århundre jobbet i Samarkand, har vi arvet desimaler, uten noe som det er vanskelig å forestille seg moderne aritmetikk.

På mange måter Europa kjent med prestasjoner av Øst ble gjort mulig takket være arbeidet til den italienske vitenskapsmannen Leonardo Fibonacci, som skrev en bok "Liber Abaci", inneha med orientalske innovasjoner. Det har blitt hjørnesteinen i utviklingen av algebra og aritmetikk, forskning og vitenskapelig virksomhet i Europa.

russisk aritmetikk

Til slutt, regning, har funnet sin plass og forankret i Europa, begynte å spre seg på russisk jord. Russisk først aritmetikk utgitt i 1703 - det var en bok om aritmetikk Leontiya Magnitskogo. I lang tid var det den eneste opplæringen i matematikk. Den inneholder de første øyeblikk av algebra og geometri. Tallene, som ble brukt i eksemplene på Russlands første lærebok i aritmetikk, arabisk. Selv arabiske tall har møtt før, i graveringer dateres tilbake til det 17. århundre.

Boken er dekorert med bilder av Arkimedes og Pythagoras, og på den første siden - bilde aritmetikk som en kvinne. Hun sitter på tronen, under det som er skrevet i det hebraiske ordet for Guds navn, og på trappen som fører til alteret, innskrevet med ordet "divisjon", "økning", "tillegg", og så videre. D. Man kan bare forestille seg hva verdien forrådt slike sannheter, som nå anses vanlig.

Læreboken på 600 sider beskriver som grunnlag for lignende addisjon og gangetabellen, og søknader om navigasjons vitenskaper.

Ikke overraskende, har forfatteren valgt bildet av de greske tenkere for sin bok, fordi han selv ble betatt av skjønnheten i aritmetikk og sa: "Arithmetic har chislitelnitsa det Art Fair, nezavistnoe ...". Denne tilnærmingen til aritmetikk er velbegrunnet, fordi det er det utbredt bruk kan betraktes begynnelsen av den raske utviklingen av vitenskapelig tenkning i Russland og allmennutdanning.

urolig primtall

Primtall - det er et naturlig tall, som ligger bare to positive divisorene: 1 og seg selv. Alle andre tall, med unntak av en kalles kompositt. Eksempler på primtall: 2, 3, 5, 7, 11, og alle andre som ikke er annet enn en divisorene og selve nummeret.

Som for nummer 1, det er på en premie - det er enighet om at det bør vurderes verken enkel eller sammensatt. Enkelt ved første øyekast, skjuler en enkel rekke mange uløste mysterier i seg selv.

Euklids teorem sier at et uendelig antall primtall, og Eratosthenes kom opp med en spesiell aritmetikk "sil", noe som eliminerer kompliserte tall, slik at bare enkelt.

Sin essens er å understreke angre det første tallet, og i den påfølgende slående ut de som er multipler av det. Vi gjentar denne prosedyren flere ganger - og få en tabell av primtall.

Aritmetikkens Fundamentalteorem

Blant de observasjoner om primtall må spesielt nevne den grunnleggende aritmetikk teorem.

Grunnleggende aritmetiske teorem angir at et hvilket som helst helt tall større enn 1, eller en enkel eller det kan dekomponeres i et produkt av primtall opp til størrelsesorden av repetisjonsfaktorer, den eneste måte.

Aritmetikkens Fundamentalteorem viste seg ganske tungvint, og forstå det er ikke som det grunnleggende.

Ved første øyekast, primtall - elementært konsept, men det er det ikke. Fysikk også betraktet elementært atom, før hun fant inne i et univers. Primes dedikert en vakker historie matematiker Don Zagier "De første femti millioner primtall."

Fra de "tre epler" til deduktive lover

Som virkelig kan kalles en forsterket grunnlaget for all vitenskap - lover aritmetikk. Selv som barn all aritmetikk ansiktet, studere antall ben og armer på dukker, antall kuber, epler og så videre. D. Så vi studerer aritmetikk, som deretter utvikler seg til mer kompliserte regler.

hele vårt liv introduserer oss til reglene i aritmetikk, som var for den vanlige mannen den mest nyttige av alt som vitenskapen gir. Studiet av tall - det er "Arithmetic-baby", som introduserer mennesket til en verden av tall som sifre i tidlig barndom.

Høyere aritmetiske - deduktiv vitenskap som studerer lovene i aritmetikk. De fleste av dem vi kjenner, men kanskje vi ikke kjenner sin eksakte ordlyden.

Loven om addisjon og multiplikasjon

To heltall a og b kan uttrykkes som summen av a + b, som også er et naturlig tall. Når det gjelder tillegg er følgende lover:

• Kommutativ, som sier at permutasjon av begrepene plasserer beløpet ikke endres, eller a + b = b + a.
• Assosiative at nevnte sum ikke er avhengig av den metode for å gruppere de betingelser på steder, eller a + (b + c) = (a + b) + c.

Regler for aritmetikk, som addisjon, - en av de grunnleggende, men de er vant alle fag, ikke minst hverdagen.

Enhver to heltall a og b kan bli uttrykt i produktet eller en b * a * b, som også er et naturlig tall. Å påføre produktet de samme kommutative og assosiative lover som til tillegg av:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Det er interessant at det er en lov, som kombinerer addisjon og multiplikasjon, også kjent som en distribusjon eller distributive lov:

a (b + c) = ab + ac

Denne loven lærer oss å jobbe med braketter, åpne dem, og dermed kan vi allerede jobber med mer komplekse formler. Dette er de lover som vil lede oss gjennom den sjarmerende, men komplekse verden av algebra.

Lov aritmetisk rekkefølge

om lovene i menneskelig logikk den bruker hver dag, sjekke klokken og telle regninger. Og likevel, og det bør gjøres om til et bestemt språk.

Hvis vi har to positive heltall a og b, deretter følgende alternativer:

• a er lik b, eller a = b;
• en mindre enn b, eller en
• a er større enn b, eller a> b.

Av de tre alternativene kan bare være eneste. Basic Law, som regulerer den prosedyre, sa: hvis a

Det er også lover som binder handlingene til tilsetningsrekkefølgen og multiplikasjon: hvis a

Lovene i aritmetikk lært oss å jobbe med tall, tegn og braketter, snu alt til en harmonisk symfoni av tall.

Posisjons og nonpositional tallsystemet

Vi kan si at tallene - dette er et matematisk språk, fra den praktiske som avhenger av mange ting. Det finnes mange systemer for beregning, som i likhet med alfabeter av forskjellige språk varierer.

Betrakt det tallsystem fra treffpunktet posisjoner på den kvantitative verdi av sifferet i denne stilling. For eksempel, er romerske systemet nonpositional hvor hvert tall blir kodet for av et bestemt sett av spesialtegn: I / V / X / L / C / D / M. De er henholdsvis tallene 1/5/10/50/100/500 / 1000. I dette systemet betyr figuren ikke endre sin kvantitativ bestemmelse, avhengig av i hvilken stilling det skal: .. Den første, andre, etc. For å få de andre tall, er det nødvendig å fastsette basen. For eksempel:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mer kjent for oss tallsystem ved hjelp av arabiske tall er posisjons. I et slikt system antall utløps definerer antall sifre, for eksempel tre-sifrede tall: 333, 567, etc. Vekten av en hvilken som helst av utløps er avhengig av en posisjon på hvilken figuren er den ene eller den annen, for eksempel figur 8 i den andre posisjonen har en verdi på 80. Det er typisk for desimalsystemet, er det andre posisjonssystemet slik som binær.

binær aritmetikk

Vi er kjent desimal system, bestående av single-bit og multi-bit tall. Figuren til venstre i sifret nummer er ti ganger større i betydning for den til høyre. Så, vi pleide å lese 2, 17, 467, og så videre. D. Det er en annen logikk og tilnærming delen, som kalles "binær aritmetikk." Dette er ikke overraskende, fordi binær aritmetikk ikke er skapt for menneskelig logikk, og for datamaskinen. Hvis det aritmetiske av tall stammer fra tellingen, noe som ytterligere abstrahert fra faget eiendommen til "naken" aritmetikk, da dette ikke vil fungere med datamaskinen. For å være i stand til å dele sine kunnskaper med datamaskinen, en mann måtte finne opp en modell beregning.

Binary aritmetikk fungerer med binære alfabetet, som bare består av 0 og 1. Og bruken av dette alfabetet kalles et binært system.

I motsetning til binær aritmetikk desimal at betydningen av posisjonen til venstre er ikke lenger 10, og 2 ganger. Binære tall er på formen 111, 1001 og så videre. D. Hvordan skal vi forstå disse tallene? Dermed anser vi nummeret 1100

1. Det første sifferet til venstre - 1 * 8 = 8, med tanke på at det fjerde tallet, noe som betyr at det må ganges med to, får vi åtte posisjon.
2. Andre sifferet 1 * 4 = 4 (posisjon 4).
3. Det tredje siffer fra 0 * 2 0 = (posisjon 2).
4. Den fjerde siffer fra 0 * 1 = 0 (stilling 1).
5. Så vår nummer 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Det vil si at overgangen til en ny kategori til venstre for sin betydning i det binære systemet multipliseres med 2 og desimal - til 10. Et slikt system har en ulempe: det er for stort vekst biter som kreves for å spille inn tall. Eksempler desimaltall dvochinyh som kan sees i tabellen nedenfor.

Desimaltall er representert i binær form under.

Det er også brukt oktale og heksadesimale tallsystemet.

Denne mystiske aritmetikk

Hva er aritmetikk, "to pluss to" eller uutforskede mysterier tall? Som du kan se, aritmetikk, kan, og det virker ved første øyekast en enkel, men det er ikke åpenbart villedende letthet. Det er mulig å studere barn, og sammen med tante Owl fra tegneserie "Arithmetic-baby", og du kan dykke inn i den dype vitenskapelig forskning nesten filosofisk rekkefølge. I historien har det gått fra å telle objekter for å tilbe skjønnheten av tall. En ting er sikkert: med etableringen av de grunnleggende postulater av aritmetikk, kan all vitenskap stole på henne sterk skulder.