Hvordan beregne arealet av en pyramide: basen, side og full?

I forberedelsene til eksamen i matematikk studentene må systematisere kunnskapen om algebra og geometri. Jeg ønsker å kombinere alle kjente opplysninger som hvordan å beregne arealet av en pyramide. Videre, ved å starte fra bunnen og sideoverflatene til hele overflatearealet. Hvis siden vender situasjonen er klart, som de er trekanter, er basen alltid annerledes.

Hvordan være når arealet av bunnen av pyramiden?

Det kan være ganske enhver figur fra en vilkårlig trekant til den n-gon. Og denne basen, bortsett fra forskjellen i antall vinkler, kan være riktig eller feil figur. I interesse av elevenes oppgaver på eksamen fant bare jobber med de riktige tallene i basen. Derfor vil vi bare snakke om dem.

likesidet trekant

Det er likesidet. En som alle parter er likeverdige og betegnes med bokstaven "a". I dette tilfellet er basisområdet av pyramiden beregnet ved formelen:

S = (a * ² √3) / 4.

kvadrat

Formelen for å beregne dens område er den enkleste, er "a" - side igjen er:

Og S = ^2.

Vilkårlig regulær n-gon

På sidene av polygonet samme betegnelse. For antall vinkler brukes latinske bokstaven n.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180 ° / n)) .

Hvordan å gå inn i beregningen av arealet av den laterale og full overflaten?

Siden basis figuren er korrekt, da alle flater av pyramiden er like. Hvor hver av disse er en likebenet trekant, fordi sidekantene er like. Deretter, for å beregne arealet av en side av pyramiden trenger formel som består av summen av monomials identiske. Antallet av ledd er bestemt av den mengde av bunnsidene.

Arealet av en likebenet trekant beregnes ved hjelp av formelen i hvilken halvparten av basisproduktet blir multiplisert med høyden. Denne høyden i pyramiden kalles apothem. Sin betegnelse - "A". Den generelle formelen for det området av sideflaten er som følger:

S = ½ P * A, hvor P - omkrets av bunnen av pyramiden.

Det er når det ikke er kjent på basissiden, men er sidekantene (a) flat, og den vinkel ved spissen (α). Deretter bygger den bruke den følgende formel for å beregne den laterale sone av pyramiden:

S = n / 2 til ² * sin α.

Oppgave № 1

Tilstand. Finne det totale areal av pyramiden, hvis base er en likesidet trekant med en side på 4 cm, og har verdien √3 apothem cm.

Beslutning. Det bør begynne med beregning av basen omkretsen. Siden dette er en regulær trekant, og P = 3 * 4 = 12 cm apothem Slik det er kjent, kan man umiddelbart beregne arealet av hele sideflaten :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

For å oppnå basen trekanten er verdien av området (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

For å bestemme hele området behov for å brette de to resulterende verdier: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Svar. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Tilstand. Det er en vanlig firkantet pyramide. Lengden av basen er lik 7 mm, den sidekant - 16 mm. Du trenger å vite sitt areal.

Beslutning. Siden polyhedron - rektangulære og korrekt, ved sin base er et kvadrat. Høring baseområde og sideflater være i stand til å telle firkantet pyramide. Formelen for den firkantede er gitt ovenfor. Og jeg vet at alle sideflatene i trekanten. Derfor kan du bruke Herons formel for å beregne sine områder.

De første beregninger er enkel og fører til dette nummer: 49 ^mm2. For å beregne den andre verdien trenge semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nå kan vi beregne arealet av en likesidet trekant: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54644 mm ^2. Det er fire trekanter, så ved beregning av endelige tall må multipliseres med 4.

Fås: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Svar. 267,576 ønskede verdi på ² mm.

Oppgave № 3

Tilstand. Ved regulær firkantet pyramide er nødvendig for å beregne arealet. Det er kjent siden av plassen - 6 cm og høyde - 4 cm.

Beslutning. Den enkleste måten å bruke formelen til produktet av omkretsen og apothem. Den første verdien er funnet rett og slett. Den andre litt vanskeligere.

Vi må huske Pythagoras teorem og vurdere en rettvinklet trekant. Det er dannet av høyden av pyramiden og apothem, som er hypotenusen. Den andre gren er halve siden av plassen, som et polyhedron høyde faller i midten av den.

Favoriserte apothem (hypotenusen i en rettvinklet trekant) er lik √ (mars ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Nå er det mulig å beregne den ønskede verdi: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 ^(cm2).

Svar. 96 ^cm2.

Problem № 4

Tilstand. Dana vanlig sekskantet pyramide. Sidene av sin basis lik 22 mm, sidekantene - 61 mm. Hva er arealet av den laterale overflaten av denne polyhedron?

Beslutning. Resonnementet bak det er de samme som beskrevet i den oppgave №2. Bare pyramiden ble gitt det til torget på basen, og nå er det en sekskant.

Det første trinnet er beregnet ved bunnområdet av ovennevnte formel ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Nå må du finne halv omkretsen av en likebent trekant, som er en side ansikt. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 forblir på Heron formel for å beregne arealet til hver av trekanten, og deretter multiplisere det med seks ganger og den som viste seg å basen.

Beregninger av Heron formel: √ (72 * (72-22) (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 ^cm2. Beregningene som vil gi sideveis overflateareal: 660 * 6 = 3960 ^cm2. Det gjenstår å legge dem opp for å finne ut hele overflaten: 5217,47≈5217 cm ^2.

Svar. Begrunnelse - 726√3 ^cm2, sideflaten - 3960 ^cm2, hele området - 5217 ^cm2.