Ligningen - hva er det? Definisjon, eksempler

I løpet av skole matematikk, barnet hører første begrepet "ligningen". Hva er det, prøve å forstå hverandre. I denne artikkelen ser vi på hvilke typer og metoder for løsning.

Matematikk. ligningen

For å begynne å tilby å håndtere selve oppfatningen av hva det er? Som nevnt i mange lærebøker i matematikk, ligningen - det er noen av uttrykkene mellom hvilke du bør definitivt tegn på likestilling. I disse uttrykkene, det er bokstavene, den såkalte variabel, verdien som er og må bli funnet.

Hva er en variabel? Denne egenskap i systemet, noe som endrer sin verdi. Et godt eksempel på variablene er:

• lufttemperatur;
• veksten av barnet;
• vekt og så videre.

I matematikk, blir de betegnet med bokstaver, for eksempel x, a, b, c ... Vanligvis oppgaven med matematikk er som følger: finne verdien ligningen. Dette betyr at du trenger å finne verdien av disse variablene.

arter

Ligningen (det vil si, vi diskutert i det foregående avsnitt) kan være av følgende form:

• lineær;
• kvadrat;
• kubikk;
• algebraisk;
• transcendental.

Hvis du vil vite mer om alle typer, vurdere hver for seg.

lineær ligning

Dette er den første typen som lest skolebarn. De løst ganske raskt og enkelt. Dermed den lineære ligningen, hva er det? Dette uttrykk av formen: s = c. Så ikke veldig klart, så vi gi noen eksempler: 2 = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.

La oss se på eksempler på ligninger. For å gjøre dette trenger vi å samle alle kjente data på den ene siden, og ukjent for den andre: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2. Det ble brukt elementære regler i matematikk: a * c = e, dette c = e / a; a = e / s. For å fullføre løsningen av ligningen ved å gjøre en handling (i dette tilfellet, divisjon) x = 13; x = 8; x = 5. Disse var eksemplene på multiplikasjon, nå vises på subtraksjon og tillegg: x + 3 = 9; 5-10X = 15. Kjent data blir overført i en retning: x = 9-3; x = 20/10. Vi utfører siste handlingen: x = 6; x = 2.

Også varianter er mulig med lineære ligninger, hvor mer enn én variabel: 2x-2y = 4. For å løse, er det nødvendig å legge til hver del 2y, får vi 2x 2y + 2y = 4-2u, som vi har sett, på den venstre side av likhetstegnet og -2u + 2y redusert, slik vi igjen med: 2x = 4 -2u. Det siste trinnet skillet hver del av de to, får vi svaret: X er to minus y.

Problemer med ligningene er funnet selv i Rhind Mathematical Papyrus. Det er ett av problemene: antallet og den fjerde delen gir totalt 15. For å løse dette problemet vi skrive følgende ligning: X pluss en fjerde X tilsvarer femten. Vi ser et eksempel på en lineær likning for totalløsninger, får vi svaret: x = 12. Men dette problemet kan løses på en annen måte, nemlig egyptisk, eller som det heter på en annen måte, en måte å spekulasjon. I papyrus brukte følgende løsning: ta fire og en fjerdedel av det, det er en. I sum gir de fem, femten er nå å bli delt på sum, får vi tre, den siste handlingen av tre ganget med fire. Vi får svaret: 12. Hvorfor er vi i arbeidet med femten delt på fem? Så vi finne ut hvor mange ganger femten, det er resultatet som vi trenger for å få minst fem. På denne måten vi løste problemene i middelalderen, ble det å bli kalt metoden for falsk posisjon.

kvadratiske likninger

Foruten de tidligere omtalte eksempler, det finnes andre. Hvilke? Kvadratisk likning, hva er det? De har form ax ² + bx + c = 0. For å løse dem, må du gjøre deg kjent med noen av de begreper og regler.

Først må du finne discriminant av formelen: b ² -4ac. Det er tre måter å løse utfallet:

• diskriminant er større enn null;
• mindre enn null;
• er null.

I den første versjonen kan vi få svar fra to røtter, som er i henhold til formelen: + -b en rot av den diskriminanten dividert med to ganger den første koeffisienten, dvs. 2a.

I det andre tilfellet, røttene av ligning der. Det tredje tilfellet er roten av formelen: -b / 2a.

Tenk på en kvadratisk likning for en mer detaljert bekjent: tre X squared minus fjorten X minus fem lik null. Til å begynne med, som skrevet tidligere, diskriminant leter etter, i vårt tilfelle det er lik 256. Merk at den resulterende tallet er større enn null, så vi bør få et svar som består av to røtter. Erstatning oppnådd i det diskriminanten formel for å finne røttene. Som et resultat, har vi: X er lik fem og minus en tredjedel.

Spesielle tilfeller i kvadratiske likninger

Dette er eksempler i hvilke noen av de verdier som er null (a, b eller c), og eventuelt mer.

For eksempel vurdere følgende ligning, som er en firkantet, to X squared er lik null, her ser vi at b og c er lik null. La oss prøve å løse det, for at begge sider av dividere med to, har vi: x ² = 0. Som et resultat, får vi x = 0.

En annen sak er 16 x ² = 0 -9. Her, bare b = 0. Vi løser ligningen, er koeffisienten til den frie overføring til den høyre side: 16 x ² = 9, er nå hver del er delt på seksten x ² = ni sekstendedel. Siden vi har x squared, kan kvadratroten av 9/16 være enten negativ eller positiv. Svaret er skrevet som følger: X er lik pluss / minus tre kvartalene.

Mulig, og dette svaret, som røttene til ligningen ikke. La oss se på følgende eksempel: 5 × ² + 80 = 0, der b = 0. For å løse konstantleddet sprer seg til høyre side, etter disse trinnene, får vi: 5x ² = -80, og nå hver del er delt på fem: x ² = minus seksten. Hvis noen tall kvadrat, den negative verdien vi får. På dette vårt svar er: på røttene av ligningen der.

nedbrytning trinomial

ved gradslikn oppgave kan virke på en annen måte: for å dekomponere det kvadratiske trinomial til faktorer. Dette kan gjøres ved hjelp av følgende formel: a _(x-x-1) (x-x _2). For dette, som i andre referanse utførelsesform, er det nødvendig å finne en diskriminant.

Vurdere følgende eksempel: 3x ² -14h-5, råtner på mnozheteli trinomial. Finn discriminant hjelp av allerede kjent formel, er det funnet å være 256. Nå oppmerksom på at 256 er større enn null, derfor vil ligningen har to røtter. Finn dem, som i forrige avsnitt, har vi: x = minus fem og en tredjedel. Bruke formelen for dekomponering trinomial på mnozheteli 3 (x-5) (x + 1/3). I den andre braketten har vi et likhetstegn, fordi formelen er verdt minustegn, og roten, også er negativ, ved anvendelse av en grunnleggende kunnskap matematikk, i en mengde har vi et plusstegn. For å forenkle, multiplisere det første og det tredje ledd i ligningen for å bli kvitt de fraksjoner: (x-5) (x + 1).

Ligninger reduser til torget

I denne delen lærer vi hvordan vi skal løse mer komplekse ligninger. Vi begynner umiddelbart med et eksempel:

(X ² - 2x) ^2-2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Vi kan legge merke til engangsposter: (x ² - 2x), praktisk til oss etter løsninger for å erstatte den med en annen variabel, og deretter løse vanlige kvadratiske ligningen, umiddelbart oppmerksom på at i denne oppgaven vi får fire røtter, bør det ikke skremme deg. repetisjon variable og betegner. Vi får en ^to 2A-3 = 0. Vårt neste steg - er å finne en ny diskriminant ligningen. Vi får 16, finner vi to røtter: minus en og tre. Vi husker at vi gjorde erstatning, erstatte disse verdiene, som et resultat, har vi likningen: x ² - 2x = 1; x ² - 2x = 3. Å løse dem i den første reaksjon: x er en, den andre: x er minus ett og tre. Skriv svaret som følger: pluss / minus ett og tre. Vanligvis er svaret skrevet i stigende rekkefølge.

kubikk

La oss se på et annet alternativ. Det handler om tredjegradslikninger. De har den form: ax bx + ^{3 2} + cx + d = 0. Eksempler på ligninger vi vurdere videre, og til å begynne med litt teori. De kan ha tre røtter, da det er en formel for å finne den diskriminanten av en kubisk ligning.

Betrakt dette eksemplet: 3 + ³ 4 ² + 2 = 0. Hvordan å løse det? For å gjøre dette, vi bare ta ut brak x: x (3 + ² 4 + 2) = 0. Alt vi trenger å gjøre - er å beregne røttene av ligningen i parentes. Discriminant av den kvadratiske likning i parentes er mindre enn null, på denne basis, har en rot uttrykk: x = 0.

Algebra. ligningen

Gå til neste synet. Nå har vi kort vurdere den algebraiske ligningen. En av oppgavene er som følger: fremgangsmåten i grupperingen spredt ut på mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 x ² + 2 + 5. Den mest praktiske måte er den følgende gruppe: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + (2 x ³ + 2) + (5 x ² 5). Legg merke til at de 8 x ² fra den første uttrykk vi har presentert som summen av tre og ^to 5x ^2. Nå tar vi ut hver av brakettene 3 felles faktor ² (x2 + 1) + 2 (x ² 1) 5 ⁽² x 1). Vi ser at vi har en felles faktor: X kvadrat pluss en, for å gjøre det ut av brak: (1 x ²⁾ (3 ² + 2 + 5). Videre nedbrytning er ikke mulig, siden begge ligninger ha negativ diskriminant.

transcendentale ligninger

Tilby å håndtere den neste typen. Denne ligningen, som inneholder transcendental funksjoner, nemlig logaritmisk, trigonometriske eller eksponentiell. Eksempler: 6sin ² x + TGX-1 = 0, x + 5lgx = 3 og så videre. Hvordan de er løst, vil du lære av trigonometri.

funksjon

Den siste fasen av begrepet, vurdere ligningen funksjon. I motsetning til tidligere versjoner, kan denne typen ikke løses, og grafen er basert på det. For denne ligningen er vel verdt å analysere, for å finne alle de nødvendige poengene for å bygge, beregne maksimums- og minimumspunkter.