Problemer som må løses ved ligningen. Løsning av problemer i matematikk

I løpet av skole matematikk som kreves for å oppfylle målene. Noen er temmet i noen få trinn, andre krever en viss puslespill.

Problemer som må løses ved ligningen, bare ved første øyekast vanskelig. Hvis du øver, går prosessen til automatisk.

geometriske figurer

For å forstå spørsmålet, må du komme til kjernen. Nøye forstå betydningen av tilstanden, er det bedre å re-lese flere ganger. Utfordringer for ligningen bare ved første øyekast vanskelig. Vurdere et eksempel for å starte den enkleste.

Dan rektangel, er det nødvendig å finne sitt område. Gitt: bredde ved 48% mindre enn lengden av omkretsen av rektangelet er 7,6 centimeter.

Problemløsning i matematikk krever nøye vchityvaniya, logikk. Sammen, la oss håndtere det. Det du trenger først og fremst å vurdere? Vi betegner lengden av x. Derfor, i denne ligning, vil bredden være 0,52h. Vi får perimeter - 7,6 centimeter. Vi finner semiperimeter, dette 7,6 centimeter delt på to, er det lik 3,8 centimeter. Vi har likningen som vi finner lengden og bredden:

0,52h + x = 3,8.

Når vi får x (lengde), er det lett å finne og 0,52h (bredde). Hvis vi vet at disse to verdiene, finner vi svaret på det viktigste spørsmålet.

Problemer som må løses ved ligningen, er ikke så vanskelig som de synes, at vi kan forstå fra det første eksempelet. Vi har funnet en lengde x = 2,5 cm, bredde (y oboznchim) 0,52h = 1,3 cm. Flytt til området. Det er den enkle formelen S = x * y (for rektangler). I vårt problem S = 3,25. Dette vil være svaret.

La oss se på eksempler på å løse problemer med å finne plass. Og denne gangen tar vi rektangelet. Løsning av problemer i matematikk ved å finne omkrets, areal, forskjellige figurer ganske ofte. Vi lese uttalelsen av problemet: gitt et rektangel, er dens lengde 3,6 centimeter mer bredde, som er 1/7 av omkretsen av figuren. Finn arealet av rektangelet.

Det vil være hensiktsmessig å betegne bredden av den variable x, og lengden av (x + 3,6) centimeter. Vi finner omkretsen:

P = 2 + 3,6.

Vi kan ikke løse ligningen, fordi vi har det i to variabler. Derfor ser vi igjen tilstand. Den sier at bredden er lik 1/7 av omkretsen. Vi får ligningen:

1/7 (2 + 3,6) = x.

For den praktiske løsningen, multipliserer vi hver side av ligningen med 7, så får vi kvitt den fraksjon:

2 + 3,6 = 7x.

Etter at vi får løsningene x (bredde) = 0,72 cm. Kjenne bredde, lengde funn:

0,72 + 3,6 = 4,32 cm.

Nå vet vi lengden og bredden tilsvarer det viktigste spørsmålet om hva som er arealet av et rektangel.

S = x * y, S = 3.1104 cm.

Bokser med melk

Løse problemer ved hjelp av ligningene fører til en rekke problemer på skolen, til tross for at denne saken begynner i fjerde klasse. Det er mange eksempler vi har sett på i fastsettelsen av områdene tall, nå litt digress fra geometrien. La oss se en enkel oppgave med utarbeidelsen av tabellene, de bidrar til å visuelt: som data for å bidra til å løse mer synlig.

Be barna lese tilstand av problemet og lage et diagram for å hjelpe kompilering ligningen. Det er betingelsen: det er to bokser, de første tre ganger mer melk enn i andre. Dersom den første helles fem liter i den andre, vil melken fordeles likt. Spørsmål: Hvor mange bokser med melk i hver?

For å bidra til å løse behovet for å opprette en tabell. Hvordan skal det se ut?

beslutning

	det var	det ble
1 boks	3	3-5
2 bokser	x	x + 5

Hvordan virker dette hjelpe i utformingen av ligningen? Vi vet at som et resultat melk var like, ligningen vil derfor være som følger:

Orden 3 - 5 + x = 5;

2 = 10;

x = 5.

Vi har funnet gjøre den opprinnelige mengde av melkespann i den annen, så den første var: 5 * 3 = 15 liter melk.

Nå, en liten forklaring på tegnebordet.

Hvorfor vi er den første av en boks merket 3: i den tilstand fastsatt at melk er tre ganger mindre enn i andre bokser. Deretter leser vi at de første 5 liter bokser lekket, ble derfor orden 3 - 5, og den andre helte: x + 5. Hvorfor har vi satt et likhetstegn mellom de to begrepene? Betingelsene for problem sier at melken har blitt likt.

Så får vi svaret: første boksen - 15 liter, og den andre - 5 liter melk.

Bestemmelse av dybden

I henhold til problemet: dybden av den første brønn på 3,4 meter som er større enn den andre. Den første brønn ble økt med 21,6 meter, og den andre - tre ganger, etter at disse handlinger brønnene har samme dybde. Du må beregne hva dybden av hver brønn var opprinnelig.

Metoder for å løse problemer er mange, kan gjøres ved den handling som utgjør ligninger eller deres system, men det mest praktisk andre valg. Slik går du til en beslutning sotavim bord, som i forrige eksempel.

beslutning

	det var	det ble
en godt	+ 3.4 x	x + 3.4 + 21.6
2 godt	x	3

Vi fortsetter til utarbeidelse av ligningen. Siden brønndybden blir den samme, har den følgende form:

x + 3,4 + 21,6 = 3;

x - 3 = -25;

-2x = -25;

x = -25 / -2;

x = 12.5

Vi fant den opprinnelige dybden av den andre brønnen, kan nå finne den første:

12,5 + 3,4 = 15,9 m.

Etter de utførte handlingene er registrert svar: 15,9 m, 12,5 m.

to brødre

Merk at dette problemet er forskjellig fra alle foregående på grunn av tilstanden var opprinnelig det samme antall elementer. Følgelig, er tilleggsbordet gjøres i omvendt rekkefølge, dvs. fra "ble" a "har vært".

Tilstand: de to brødrene ga like nøtter, men den eldste ga sin lillebror 10, etter at den yngre var nøtter fem ganger mer. Hvor mange nøtter er nå hver gutt?

beslutning

	det var	det ble
senior	x + 10	x
yngre	5x - 10	5x

Tilsvarer:

x = 10 + 5x - 10;

-4H = -20;

x = 5 - nøtter var hans eldre bror;

5 * 5 = 25 - den yngre broren.

Nå kan du skrive svaret: 5 nøtter; 25 nøtter.

kjøp

Skolen må kjøpe bøker og notatbøker, den første er dyrere andre på 4,8 rubler. Du må beregne hvor mye er en bok og en bok, om kjøp av tjuefem bøker og en notatbok utbetalt samme sum penger.

Før du går videre til løsningen, er det nødvendig å svare på følgende spørsmål:

• Hva er det i problemet?
• Hvor mye betalte du?
• Hva du skal kjøpe?
• Hvilke verdier kan utjevnes med hverandre?
• Hva du trenger å vite?
• Hva er verdien tatt for x?

Hvis du har svart på alle spørsmålene, og deretter videre til en beslutning. I dette eksempelet, som verdien av x kan aksepteres som prisen på en bærbar PC, og kostnaden av bøker. Vurdere to mulige alternativer:

1. x - verdien av en bærbar PC, og deretter x + 4.8 - prisen på boken. Basert på dette, får vi ligningen: 5 = 21x (x + 4,8).
2. x - kostnaden av boken, deretter x - 4.8 - prisnotatbøker. Ligningen har formen: 21 (X - 4,8) = 5x.

Du kan selv velge en mer praktisk alternativ, da vi løse to likninger og sammenligne svarene, som et resultat, må de være det samme.

Den første metoden

Løsningen av den første ligning:

5 = 21x (x + 4,8);

4,2h = x + 4,8;

4,2h - x = 4,8;

3.2x = 4,8;

x = 1,5 (rubler) - verdien av en bærbar PC;

4,8 + 1,5 = 6,3 (rubler) - kostnaden av en enkelt bok.

En annen måte å løse denne ligningen (åpning parentes):

5 = 21x (x + 4,8);

21x = 5x + 24;

16X = 24;

x = 1,5 (rubler) - verdien av en bærbar PC;

1,5 + 4,8 = 6,3 (rubler) - kostnaden av en enkelt bok.

Den andre måten

5 x 21 = (x - 4,8);

5x = 21x - 100,8;

16X = 100,8;

x = 6,3 (rubler) - pris for en bok;

6,3 - 4,8 = 1,5 (rubler) - prisen for en bærbar PC.

Som det kan ses fra eksemplene, svarene er identiske, derfor, er problemet løst på riktig måte. Se opp for den riktige avgjørelsen, i vårt eksempel ikke har svaret er negativt.

Det finnes også andre problemer som må løses ved hjelp av ligningen, så som bevegelse. Vurdere nærmere i de følgende eksempler.

to biler

I denne delen vil vi fokusere på de bevegelsesoppgaver. For å være i stand til å løse dem, må du vite følgende regel:

S = V * T,

S - avstand, V - hastighet, T - tid.

La oss se på et eksempel.

To bil venstre samtidig fra punkt A til punkt B. Den første totale avstand med samme hastighet, den første halvdel av den annen bane med en hastighet på 24 km / t, og den andre - 16 km / t. Det er nødvendig å bestemme hastigheten på den første bilisten til punkt B dersom de kom på samme tid.

Det vi trenger for utarbeidelse av ligningen: hovedvariabel V ₁ (hastigheten på den første bilen), små: S - banen T ₁ - første gang i bilen måte. Ligningen: S = V ₁ * T _1.

Videre: den første halvdel av den andre kjøretøybane (S / 2) drev seg med en hastighet V ₂ = 24 km / t. Vi får uttrykket: S / 24 * 2 = T _2.

Den neste delen av banen er det reist med en hastighet V ₃ = 16 km / t. Vi får S / 2 = 16 * t _3.

Videre er det sett fra den betingelse at kjøretøyene kom samtidig, således _T1 = _T2 + _T3. Nå må vi uttrykke den variable T _1, T _2, T ₃ av våre tidligere forhold. Vi får ligningen: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

S aksepterer enheten og løse likningen:

1 / V = ₁ 1/48 + 1/32;

1 / V _{1 = (2/96) + (3/96} ) ;

1 / V ₁ = 5/96;

V ₁ = 96/5;

V ₁ = 19,2 km / t.

Dette er svaret. Problemer som må løses ved ligningen, komplisert ved første øyekast. I tillegg til det ovenfor angitte problem kan møtes for å fungere, hva det er omtalt i det neste avsnitt.

arbeidsoppgave

For å løse denne type jobb du trenger å vite formelen:

A = VT,

hvor A - er et verk, V - produktivitet.

For en mer detaljert beskrivelse av behovet for å gi et eksempel. Subject "problemløsning ligningen" (klasse 6) kan ikke inneholde slike problemer, siden det er vanskeligere nivå, men likevel gi et eksempel for referanse.

lese nøye gjennom vilkårene: To arbeidere samarbeide og gjennomføre en plan for tolv dager. Du må finne ut hvor lang tid det tar den første ansatte til å utføre de samme reglene selv. Det er kjent at han utfører i to dager hvor mye arbeid som den andre personen i tre dager.

Løse problemer kompilering ligninger krever grundig lesning forhold. Det første vi lærte av problemet at arbeidet ikke er definert, så ta det som en enhet, det vil si A = 1. Hvis problemet refererer seg til et visst antall deler, eller liter, bør arbeidet ta fra disse dataene.

Vi betegner gjennomstrømningen av den første og andre opererer gjennom _V-1 og _V-2, henholdsvis, på dette trinn, muligens tegning av følgende ligning:

1 = 12 (V ₁ + V _2).

Hva denne ligningen forteller oss? At alt arbeidet er gjort av to personer i tolv timer.

Da kan vi si: 2V ₁ = 3V _2. Fordi det første man gjør så mye som den andre av tre i to dager. Vi har et system av likninger:

12 1 = (V1 + V2);

2V = 3V _{1 2.}

Etter resultatene av løse systemet, har vi fått ligningen med en variabel:

1 - 8V = 12V _{1 1;}

V ₁ = 1/20 = 0,05.

Dette er den første arbeidsproduktivitet. Nå kan vi finne tid til å takle alt arbeidet den første personen:

A = _V-1 * T _1;

1 = 0,05 * T _1;

T ₁ = 20.

Siden per tidsenhet ble vedtatt av dagen, er svaret: 20 dager.

reformulering av problemet

Hvis du er godt mestret ferdighetene til å løse problemer i bevegelsen, og med målene for jobben du har noen problemer, er det mulig å trene for å få trafikk. Hvordan? Hvis du tar det siste eksempelet, vil tilstanden være som følger: Oleg og Dima går mot hverandre, oppstår de etter 12 timer. For hvor mange måte å overvinne selv Oleg, hvis du vet at det er to timer passerer en avstand lik måte Dima tre timer.