Pendel: periode og akselerasjon av formel

Det mekaniske system som består av et materiale punkt (kroppen), som henger på en vektløs uelastiske filament (dens masse er ubetydelig i forhold til vekten av kroppen) i et ensartet gravitasjonsfelt, kalt den matematiske pendel (et annet navn - oscillatoren). Det finnes andre typer enheter. I stedet for et filament vektløs stang kan brukes. Pendulum kan tydelig avslører essensen av mange interessante fenomener. Når små vibrasjonsamplityder i sin bevegelse kalles harmonisk.

Generelt om det mekaniske systemet

Formelen av svingeperioden for pendelen ble avlet nederlandsk vitenskaps Huygens (1629-1695 gg.). Dette moderne av Isaac Newton var veldig glad i det mekaniske systemet. I 1656 skapte han den første klokke med en pendel mekanisme. De målte tid med ekstrem presisjon for de gangene. Oppfinnelsen var et stort skritt i utviklingen av fysiske eksperimenter og praktiske aktiviteter.

Når pendelen er i en likevektsstilling (henger vertikalt), idet tyngdekraften vil bli balansert av garnet strekkraft. Flat pendel på en ikke-strekkbare garn er et system med to frihetsgrader for kommunikasjon. Ved utskiftning bare én komponent av å endre egenskapene til alle sine deler. For eksempel, hvis en tråd er erstattet av en stang, så er dette mekaniske system er bare en frihetsgrad. Hva så, egenskapene til en matematisk pendel? I dette enkle system, under påvirkning av en periodisk forstyrrelse, vises kaos. I det tilfellet, når opphengningspunktet ikke er i bevegelse, og svinger en pendel er det en ny likevektsstilling. Ved raske svingninger opp og ned denne mekaniske systemet blir stabil stilling "opp ned". Det har også sitt navn. Det kalles Kapitza pendel.

Egenskapene til pendelen

Pendulum har meget interessante egenskaper. Alle av dem er støttet av kjente fysiske lover. Perioden for svingning av pendelen hvilket som helst annet avhenger av ulike faktorer slik som størrelsen og formen av legemet, er avstanden mellom opphengningspunktet og tyngdepunktet, vektfordeling i forhold til dette punkt. Det er derfor definisjonen av kroppen hengende perioden er ganske utfordrende. Er mye lettere å beregne perioden for en enkel pendel, formelen som er gitt nedenfor. Som et resultat av å observere disse mønstrene kan settes på lignende mekaniske systemer:

• Ved, og samtidig opprettholde den samme lengde av pendelen, opphengt i forskjellige typer belastninger, den periode av svingningen får den samme, selv om deres vekt vil variere sterkt. Følgelig har ikke periode av pendelen ikke avhengig av vekten av lasten.

• Hvis systemet begynner å avta i pendelen er ikke for stor, men forskjellige vinkler, vil det svinge med samme periode, men på ulike amplituder. Mens avvik fra sentrum av balanse er ikke for store svingninger i sin form vil være nær nok harmonisk. Perioden for en slik pendel er ikke avhengig av vibrasjons amplitude. Denne egenskapen av den mekaniske systemet kalles isochronism (i Gresk "Chronos" - tid "Izosov" - like).

Perioden for en enkel pendel

Denne figuren representerer den naturlige svingeperiode. Til tross for kompleks utforming, er prosessen i seg selv er meget enkel. Hvis lengden av garnet matematiske pendel L, og gravitasjonsakselerasjonen g, er lik denne verdi:

T = 2π√L / g

Liten periode egensvingninger på ingen måte er ikke avhengig av massen av pendelen og svingningsamplituden. I dette tilfellet, som en matematisk pendel beveger seg med redusert lengde.

Svingninger av en matematisk pendel

Matematisk pendelen svinger, noe som kan beskrives ved en enkel differensialligning:

x + ω2 sin x = 0,

hvor x (t) - ukjent funksjon (denne avbøyningsvinkel fra den nedre stilling av likevekt på tidspunktet t, uttrykt i radianer); ω - en positiv konstant som bestemmes av parametrene for pendelen (ω = √g / L, hvor g - tyngdens akselerasjon, og L - lengden av en enkel pendel (suspensjon).

Ligning små svingninger i nærheten av likevektsstilling (harmonisk ligning) som følger:

x + ω2 sin x = 0

Oscillerende bevegelse av pendelen

Pendel, noe som gjør at små svingninger, beveger seg sinussignal. Andre ordens differensialligning oppfyller alle de krav og parametre for en slik bevegelse. For å bestemme den bane man trenger for å sette hastigheten og koordinater, som senere bestemmes uavhengige konstanter:

x = A sin (θ ₀ + cot),

hvor θ ₀ - innledende fase, A - oscillasjonsamplituden, ω - cyklisk frekvens bestemmes fra bevegelsesligningene.

Pendel (formel for store amplituder)

Dette mekaniske system, utfører sine svingninger med stor amplitude, er det utsatt for mer komplekse trafikkreglene. de er beregnet i henhold til formelen for eksempel en pendel:

sin x / 2 = u * Sn (wt / u),

hvor sn - sinus Jacobi, som for u <1 er en periodisk funksjon, og for liten u det faller sammen med det enkle trigonometriske sinus. Verdien av u bestemmes av følgende uttrykk:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

hvor ε = E / ML2 (ML2 - energi av pendelen).

Bestemmelse av ikke-lineær oscillasjon periode av pendelen ved hjelp av følgende formel:

T = 2π / Ω,

hvor Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptiske integral, π - 3,14.

pendelen bevegelsen av separatrix

Det kalles separatrix banen for det dynamiske system, hvor en to-dimensjonal fase plass. Pendel beveger seg på en ikke-periodisk. I uendelig langt tidspunkt faller det fra den ekstreme øvre posisjon mot et null hastighet, og da er det gradvis økende. Han til slutt stoppet, tilbake til sin opprinnelige posisjon.

Hvis amplituden av svingningen av pendelen nærmer antall pi, er det sagt at bevegelsen i faseplanet ligger i nærheten av separatrix. I dette tilfellet, under virkningen av en liten periodisk drivende kraft av det mekaniske systemet oppviser kaotisk oppførsel.

I tilfelle av en enkel pendel fra likevektsstilling med en vinkel cp oppstår tangentialkraft Fτ = -mg sin φ tyngdekraften. "Minus" tegn betyr at den tangentiale komponent rettet i motsatt retning fra retningen av avviket av pendelen. Når man refererer via pendel forskyvning x langs en sirkelbue med en radius L er lik dens vinkelforskyvning φ = x / L. Den andre lov Isaaka Nyutona, utformet for projeksjon av akselerasjonsvektoren og styrke gi den ønskede verdi:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Basert på dette forhold, er det klart at pendelen er et ikke-lineært system, som en kraft som har en tendens til å vende tilbake til sin likevektstilling, er det ikke alltid er proporsjonal med forskyvningen x, en sin x / L.

Bare når den matematiske pendel utfører små vibrasjoner, er det en harmonisk oscillator. Med andre ord, blir det et mekanisk system er i stand til å utføre harmoniske svingninger. Denne tilnærmingen er gyldig for nesten vinkler 15-20 °. Pendel med store amplituder ikke er harmonisk.

Newtons lov for små svingninger av en pendel

Hvis det mekaniske systemet utfører små svingninger, vil andre Newtons lov se slik ut:

mg τ = Fτ = -m * g / l * x.

På bakgrunn av dette kan vi konkludere med at den tangentielle akselerasjon av en enkel pendel er proporsjonal med dens forskyvning med skiltet "minus". Dette er en tilstand hvorved systemet blir en harmonisk oscillator. Modul proporsjonalitetsfaktor mellom forskyvning og akselerasjon er lik kvadratet av vinkelfrekvensen:

ω02 = g / l; ω0 = √ g / L.

Denne formelen reflekterer den naturlige frekvens av små svingninger av denne type pendel. På bakgrunn av dette,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Beregninger basert på loven om bevaring av energi

Egenskaper oscillerende pendelbevegelsen kan beskrives ved hjelp av loven om bevaring av energi. Det bør tas i betraktning at den potensielle energien i pendelen i et gravitasjonsfelt er:

E = mgΔh = mgl (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full mekanisk energi er lik den kinetiske og maksimale potensial: Epmax = Ekmsx = E

Etter at du har skrevet loven om bevaring av energi, tar den deriverte av til venstre og høyre side av ligningen:

Ep + Ek = konst

Siden den deriverte av konstantene er lik 0, og (Ep + Ek) '= 0. Den deriverte av summen er lik summen av derivatene:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2 x * x '= mg / l * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= MV * α,

derfor:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Basert på den siste formel, finner vi: α = - g / l * x.

Praktisk anvendelse av matematisk pendel

Akselerasjon av fritt fall varierer med breddegrad, fordi tettheten av skorpen rundt i verden ikke er identiske. Hvor steiner forekomme med en høyere tetthet, vil det være litt høyere. Akselerasjon av matematisk pendel er ofte brukt for leting. I sin hjelp se etter ulike mineraler. Ganske enkelt å telle antall svingninger av en pendel, er det mulig å detektere kull eller malm i det indre av jorden. Dette skyldes det faktum at disse ressursene har en tetthet og vekt mer enn å ligge under de løse steinene.

Matematisk pendel brukes av slike prominente vitenskapsmenn som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutark, Archimedes. Mange av dem mente at det mekaniske systemet kan påvirke skjebnen og livet. Arkimedes brukte matematisk pendel med sine beregninger. I dag, mange okkultister og synske bruke denne mekanisk system for gjennomføring av sine profetier, eller søk etter savnede personer.

Den berømte franske astronomen og vitenskapsmann, Flammarion for sin forskning også brukt en matematisk pendel. Han hevdet at med hans hjelp han var i stand til å forutsi oppdagelsen av en ny planet, fremveksten av Tunguska-meteoritten, og andre viktige hendelser. Under andre verdenskrig i Tyskland (Berlin) fungerte som en spesialisert institutt for pendelen. I dag er slik forskning ikke tilgjengelig München Institute of Parapsykologi. Hans arbeid med pendelen ansatte i denne institusjonen kalles "radiesteziey".