Sinussetningen. oppløsning av trekanter

I studiet av trekanter ufrivillig det er et spørsmål om å beregne forholdet mellom deres sider og vinkler. I geometri, teoremet av cosinus og sinus gir den mest komplette svar på problemet. Overflod av ulike matematiske uttrykk og formler, lover, teoremer og regler er slik at forskjellige ekstraordinære harmoni, konsis og lett å mate en fange i dem. Sinus teorem er et godt eksempel på en slik matematisk formulering. Dersom verbal tolkning og likevel er det en viss hindring i forståelsen av matematiske regler, når du ser på en matematisk formel på en gang det faller på plass.

Den første informasjonen om dette teoremet ble funnet i form av bevis på det i rammen av den matematiske arbeidet til Nasir al-Din al-Tusi, dateres tilbake til det trettende århundre.

Nærmer nærmere forholdet mellom sider og vinkler i en trekant, er det verdt å merke seg at sinussetningen tillater oss å løse mange matematiske problemer, og geometrien av loven finner programmet i en rekke praktiske menneskelig aktivitet.

Hun sinus teoremet sier at for en trekant er preget av proporsjonalitets sidene til motsatte hjørner av sinus. Det er også en annen del av dette teorem, i henhold til hvilken forholdet mellom en hvilken som helst side av trekanten motsatt til sinus til vinkelen er lik diameteren av den sirkel som er beskrevet om den trekant som betraktes.

I en formel dette uttrykk ser ut

en / sinA = b / sinB = c / sinc = 2R

Det har bevis for teorem av sinus, som i forskjellige versjoner av tekstbøker i et rikt utvalg av versjoner.

For eksempel vurdere et av bevisene, noe som gir en forklaring på den første delen av teoremet. For å gjøre dette, vil vi be om å bevise lojalitet til uttrykk en sinc = c sinA.

I en vilkårlig trekant ABC, konstruere høyden BH. I én utførelsesform vil konstruksjonen H ligge på segmentet AC, og den andre utenfor det, avhengig av størrelsen av de vinkler ved toppunktene av trekantene. I det første tilfellet, kan høyden uttrykkes gjennom vinklene og sidene i trekanten som BH = en sinc og BH = c sinA, som er den nødvendige bevis.

Når H-punkt er utenfor segmentet AC, kan vi få følgende løsninger:

BH = en sinc og VL = c sin (180-A) = c sinA;

eller BH = a sin (180-C) = og sinc og VL = c sinA.

Som du kan se, uavhengig av design, kommer vi til det ønskede resultat.

Beviset for den andre delen av teoremet vil kreve oss til å beskrive en sirkel rundt trekanten. Gjennom en av trekanten høyder, for eksempel B, konstruere en sirkel diameter. Den resulterende punkt på sirkelen D er forbundet med den ene av en høyde av trekanten, la dette være punkt A i trekanten.

Hvis vi ser på de innhentede trekantene ABD og ABC, kan vi se likestilling av vinkler C og D (de er basert på den samme buen). Og gitt at vinkelen A er lik nitti grader synd D = c / 2R, eller synd C = c / 2R, QED.

Sinus teorem er utgangspunktet for et bredt spekter av ulike oppgaver. En spesiell tiltrekning er dens praktiske anvendelse, som en konsekvens av Theorem vi er i stand til å relatere verdien av trekantsidene, motstående vinkler og radien (diameter) på en sirkel omskrevet rundt trekanten. Den enkelhet og tilgjengeligheten av formel som beskriver denne matematiske uttrykk, fikk allment bruke denne teoremet for å løse problemene ved hjelp av forskjellige mekaniske anordninger tellbar (glide regler, tabeller, osv.), Men selv ankomsten av servicepersonen kraftige databehandlingsenheter ikke er senket relevansen av dette teorem.

Dette teoremet er ikke bare en del av den nødvendige løpet av videregående skole geometri, men senere brukt i noen bransjer praksis.