Summen av vinklene i en trekant. Teoremet på summen av vinklene i en trekant

Trekanten er en polygon med tre sider (tre vinkler). Oftest del betegnet med små bokstaver tilsvarende store bokstaver, som representerer motstående toppunkter. I denne artikkelen tar vi en titt på disse typer geometriske figurer, teorem, som definerer hva som er lik summen av vinklene i en trekant.

Typer største vinkler

Følgende typer polygon med tre hjørnene:

• spissvinklet, hvor alle vinkler er skarpe;
• rektangulær ha en rett vinkel, den side som danner den, referert til benene, og den side som er anordnet motsatt av den rette vinkelen er kalt hypotenusen;
• stump når man vinkelen er stump ;
• likebent, hvis to sider er like, og de kalles sideveis, og den tredje - en trekant med en base;
• likesidet som har tre like sider.

egenskaper

Fordele de grunnleggende egenskapene som er karakteristiske for hver type trekant:

• motsatt den største side er alltid større vinkel, og vice versa;
• er like vinkler motsatt den like største partiet, og vice versa;
• i en trekant har to spisse vinkler;
• ytre vinkel som er større enn en hvilken som helst innvendig vinkel som ikke er tilstøtende dertil;
• summen av hvilke som helst to vinkler alltid er mindre enn 180 grader;
• ytre vinkel er lik summen av de to andre hjørner, som ikke er mezhuyut med ham.

Teoremet på summen av vinklene i en trekant

Teoremet sier at hvis du legger sammen alle hjørner av geometrisk form, som ligger i den euklidske planet, så summen blir 180 grader. La oss prøve å bevise dette teoremet.

La vi har en vilkårlig trekant med hjørnene KMN. Øverst på M vil holde en direkte parallell til linjen KN (selv denne linjen kalles Euclid). Det bør legges merke til punkt A, slik at punktene K og A er ordnet fra forskjellige sider av linjen MN. Vi får samme vinkel av AMS og MUF, som i likhet med den indre, ligge på tvers for å danne kryssende MN i forbindelse med direkte CN og MA, som er parallelle. Av dette følger det at summen av vinklene i trekant, som ligger ved toppunktene av m og n er lik størrelsen av CMA vinkel. Alle tre vinkler består av en sum som er lik summen av vinklene av KMA og MCS. Siden de data som er interne vinkel i forhold sidig parallelle linjer CL og CM MA kryssende, er deres sum 180 grader. Dette beviser teoremet.

resultat

Av de ovenfor ovenfor teorem impliserer følgende konsekvens: hver trekant har to spisse vinkler. For å bevise dette, la oss anta at dette geometrisk figur har bare en skrå vinkel. Du kan også anta at ingen av hjørnene er ikke skarp. I dette tilfellet må det være minst to vinkler, hvis størrelse er lik eller større enn 90 grader. Men da summen av vinklene er større enn 180 grader. Men dette kan ikke være, som i henhold til de teorem sum-vinklene i en trekant er lik 180 ° - ikke mer eller mindre. Det er det som måtte være bevist.

Eiendoms utvendige hjørner

Hva er summen av vinklene i en trekant, som er eksternt? Svaret på dette spørsmålet kan fås ved henvendelse én av to måter. Den første er at du må finne summen av vinklene, som er tatt en på hver node, det vil si tre vinkler. Den andre innebærer at du må finne summen av de seks vinkler på hjørnene. For å håndtere begynnelsen av den første utførelsen. Således inneholder den trekant seks ytre hjørner - på toppen av hver av de to. Hvert par har like vinkler mellom seg selv, siden de er vertikale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

I tillegg er det kjent at det ytre hjørnet av en trekant er lik summen av de to interiøret, som ikke er mezhuyutsya med ham. derfor,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Fra dette ser det ut til at summen av de ytre vinklene, som er tatt en etter en nær hver node vil være lik:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Gitt det faktum at summen av vinklene er lik 180 grader, kan det hevdes at ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Dette betyr at ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Dersom det andre alternativet anvendes, vil summen av de seks vinklene være tilsvarende større to ganger. Dvs. summen av vinklene i en trekant utenfor vil være:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

rettvinklet trekant

Hva er lik summen av vinklene i en rettvinklet trekant, er øya? Svaret er, igjen, fra Theorem, som sier at vinklene i en trekant legge opp til 180 grader. En lyd vår påstand (eiendom) som følger: I en rettvinklet trekant skarpe vinkler legge opp til 90 grader. Vi bevise sin sannferdighet. La det bli gitt trekant KMN, som ∟N = 90 °. Det er nødvendig å bevise at ∟K ∟M = + 90 °.

Derfor, i henhold til den teorem på summen av vinklene ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. I denne tilstand er det sagt at ∟N = 90 °. Det viser seg ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Det er ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Det er hva vi burde bevise.

I tillegg til de ovennevnte egenskapene til en rettvinklet trekant, kan du legge disse:

• vinkler, som ligger mot bena er skarp;
• hypotenusen i den trekant som er større enn noen av benene;
• summen av benene mer enn hypotenusen;
• ben i trekanten som ligger motsatt til den vinkel på 30 grader, halvparten av hypotenusen, som er lik den halve.

Som en annen egenskap av geometrisk form kan skilles Pythagoras 'læresetning. Hun hevder at i en trekant med en vinkel på 90 grader (rektangulære), summen av kvadratene av benene er lik kvadratet av hypotenusen.

Summen av vinklene i en likebent trekant

Tidligere sa vi at en likesidet trekant er et polygon med tre topp-punkt, som inneholder to like sider. Denne egenskapen er kjent geometrisk figur: vinklene på sin base like. La oss bevise dette.

Ta trekanten KMN, som er likebent, SC - sin base. Vi er pålagt å bevise at ∟K = ∟N. Så, la oss anta at MA - KMN er halverer vår trekant. ICA trekant med det første tegn på likestilling er trekant MNA. Nemlig, ved å hypotese gitt at CM = NM, MA er en felles side, ∟1 = ∟2, fordi MA - denne halveringslinje. Bruke likheten av to trekanter, kan man argumentere for at ∟K = ∟N. Derfor er det bevist teoremet.

Men vi er interessert i, hva er summen av vinklene i en trekant (likebent). Fordi i denne sammenheng betyr det ikke har sine funksjoner, vil vi starte fra teorem diskutert tidligere. Det vil si, kan vi si at ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, eller 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (som ∟K = ∟N). Dette vil ikke vise seg eiendommen, som teoremet på summen av vinklene i en trekant ble bevist tidligere.

Bortsett fra de vurderte egenskapene til hjørnene i en trekant, er det også slike viktige uttalelser:

• i en likesidet trekant høyde, som var blitt senket til bunnen, er samtidig median halveringslinjen for den vinkel som er mellom de like sider og symmetriaksen av dens base;
• median (halveringslinjen, høyde), som holdes til sidene av en geometrisk figur, er like.

likesidet trekant

Det kalles også høyre, er trekanten, som er lik for alle parter. Og derfor også lik og vinkler. Hver av dem er 60 grader. La oss bevise denne egenskapen.

La oss anta at vi har en trekant KMN. Vi vet at KM = HM = KH. Dette betyr at i henhold til egenskapen av vinklene som befinner seg på bunnen i en likesidet trekant ∟K = ∟M = ∟N. Ettersom, i henhold til summen av vinklene i en trekant teorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, da x 3 = 180 ° ∟K eller ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Således blir påstand bevist. Som man kan se fra de ovennevnte bevis basert på det ovenfor teorem, summen av vinklene av en likesidet trekant, som summen av vinklene i en hvilken som helst annen trekant er 180 grader. Igjen beviser dette teoremet er ikke nødvendig.

Det er fortsatt noen egenskaper som kjennetegner en likesidet trekant:

• median halveringslinje høyde i en geometrisk figur identiske, og deres lengde er beregnet som (a x √3): 2;
• hvis dette polygonet omskrivende sirkelen, så radius vil være lik (a x √3): 3;
• hvis innskrevet i en sirkel likesidet trekant, vil radien være (a x √3): 6;
• område av den geometriske figuren beregnes ved hjelp av formelen: (a2 x √3): 4.

stumpe trekant

Per definisjon er et stumpvinklede trekant, er et av hjørnene mellom 90 til 180 grader. Men gitt det faktum at de to andre vinklene i geometrisk form skarp, kan det konkluderes med at de ikke overstiger 90 grader. Derfor er summen av vinklene i en trekant teorem fungerer i beregning av summen av vinklene i en stump trekant. Så kan vi trygt si, basert på ovennevnte teoremet at summen av de stumpe vinkler i en trekant er 180 grader. Igjen, dette teoremet ikke trenger å re-bevis.