Aritmetisk progresjon

Oppgaver av en aritmetisk progresjon eksisterte i antikken. De dukket opp og krevde løsninger, fordi de hadde en praktisk nødvendighet.

For eksempel, i en av papyrus fra det gamle Egypt, har en matematisk innhold, - papyrus Rhind (XIX århundre f.Kr.) - inneholder et slikt problem: dele de ti tiltak av korn for ti personer, forut om forskjellen mellom hver av dem er en åttendedel av tiltakene ".

Og i matematiske skrifter av de gamle grekerne, det er elegant teoremer knyttet til en aritmetisk progresjon. Så Hypsicles Alexandria (II århundre f.Kr.), som beløper seg til en rekke interessante oppgaver og lagt fjorten bøker til "begynnelsen" av Euclid formulerte ideen: "I aritmetisk progresjon ha et likt antall medlemmer, mengden av medlemmer av andre halvår mer enn summen av medlemmene 1- den andre til den multiplum av kvadratet av 1/2 av delene ".

Vi tar et vilkårlig antall av naturlige tall (større enn null), 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., som kalles den numeriske sekvens.

Betegner sekvensen en. sekvensnumrene blir kalt sine medlemmer, og blir vanligvis betegnet bokstaver med indekser, som angir serienummeret til elementet (a1, a2, a3 ... lyde: «et første», «en annen», «en 3-vask" og så videre ).

Sekvensen kan være uendelig eller endelig.

Og hva er aritmetisk progresjon? Det er forstått som en sekvens av tall som oppnås ved å tilsette den foregående medlem (n) med det samme antall av d, som er differansen progresjon.

Hvis d <0, så har vi en avtagende progresjon. Hvis d> 0, så er dette progresjon anses å være økende.

Aritmetisk progresjon kalles endelig, hvis vi tenker på bare noen få av de første medlemmene. Når et meget stort antall av medlemmer den har en uendelig progresjon.

Enhver aritmetisk progresjon er gitt ved følgende formel:

an = kn + b, mens b og k - noen tall.

Helt sant utsagn, noe som er det motsatte: hvis sekvens er gitt ved en tilsvarende formel, er det nettopp den aritmetisk progresjon, som har de egenskaper:

1. Hvert medlem av progresjon - det aritmetiske middel av de foregående sikt og deretter.
2. Hvis, ved å starte fra den andre, hvert medlem - det aritmetiske middel av de foregående sikt, og den etterfølgende, dvs. hvis tilstanden, denne sekvens - en aritmetisk progresjon. Dette likestilling er både et tegn på fremgang derfor ofte referert til som et karakteristisk trekk ved progresjon.
   Likeledes er det teorem sant som reflekterer denne egenskap: den sekvens - en aritmetisk progresjon bare hvis denne ligningen er sann for en hvilken som helst av medlemmene i sekvensen, og starter med den andre.

En karakteristisk egenskap av eventuelle tall for de fire aritmetisk progresjon kan uttrykkes ved en + am = ak + al, dersom n + m = k + l (m, n, k - antall progresjon).

I en aritmetisk progresjon av hvilken som helst ønsket (N-te) element kan finnes ved hjelp av følgende formel:

an = a1 + d (n-1).

For eksempel: de første element (a1) i en aritmetisk progresjon er gitt og lik tre, og forskjellen (d) er lik fire. Finn nødvendig å førtifemte medlem av denne progresjon. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formel an = ak + d (n - k) for å bestemme den n-te periode på en aritmetisk progresjon gjennom hver av sine k-te element tilveiebrakt dersom dette er kjent.

Sum i en aritmetisk progresjon (forutsatt at den første n medlemmer endelige progresjon) er beregnet som følger:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Hvis du vet forskjellen i aritmetisk progresjon, og det første medlem, for å beregne annen nyttig formel:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Summen aritmetisk progresjon som omfatter n medlemmer, blir beregnet som følger:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Utvalgs formler for beregning avhenger av forholdene og problemene med opprinnelige data.

Naturlige tall hvilket som helst tall slik som 1,2,3, ..., n, ...- enkleste eksempel på en aritmetisk progresjon.

I tillegg er det en aritmetisk progresjon og det geometriske som har de egenskaper og karakteristika.